基于Kriging代理模型的序列优化方法(Kriging-based Sequential Optimization)基础题 题目描述： 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = x₁ + x₂ - 2 ≤ 0 其中 x ∈ [ -2, 4 ]² 这是一个具有非线性目标函数和非线性约束的优化问题。我们将使用基于Kriging代理模型的序列优化方法来解决它。 解题过程： 第一步：理解Kriging代理模型的基本原理 Kriging代理模型是一种基于高斯过程的插值方法，它不仅能预测函数值，还能提供预测的不确定性估计。其核心思想是： 通过有限的样本点构建目标函数和约束函数的代理模型 利用代理模型进行快速优化，找到有潜力的新样本点 在真实函数上评估新样本点，更新代理模型 重复这个过程直到收敛 第二步：初始实验设计 我们需要在变量空间内选择初始样本点来构建初始代理模型。常用的方法是拉丁超立方抽样(LHS)： 在[ -2, 4 ]²范围内生成9个LHS样本点 在这些点上计算真实的目标函数f(x)和约束函数g₁(x)、g₂(x) 记录违反约束的程度：max(0, g₁(x)) + max(0, g₂(x)) 第三步：构建Kriging代理模型 对于每个响应（目标函数和约束函数），分别构建Kriging模型： 假设响应值服从高斯过程：y(x) ∼ GP(μ, σ²R) 其中μ是常数趋势项，σ²是过程方差，R是相关矩阵 使用高斯相关函数：R(xⁱ, xʲ) = exp(-∑θₖ|xₖⁱ - xₖʲ|²) 通过最大似然估计确定超参数θₖ 第四步：定义采集函数 采集函数用于平衡探索（在不确定性高的区域采样）和利用（在预测值好的区域采样）。常用的期望改进(EI)函数： EI(x) = E[ max(f_ min - ŷ(x), 0) ] 其中f_ min是当前最佳可行目标函数值，ŷ(x)是预测值。 对于约束问题，我们使用约束期望改进(CEI)： CEI(x) = EI(x) × P[ ĝ₁(x) ≤ 0] × P[ ĝ₂(x) ≤ 0 ] 其中P[ ĝ(x) ≤ 0 ]是约束满足的概率。 第五步：序列优化过程 开始迭代优化： 在当前代理模型上优化采集函数CEI(x)，找到最有希望的新样本点x_ new 在x_ new处计算真实的目标函数和约束函数值 将新样本点加入训练数据集 重新构建/更新Kriging代理模型 检查收敛条件（如最大迭代次数或改进小于阈值） 第六步：具体迭代示例 假设经过几轮迭代后，我们得到以下关键点： 第1轮：初始最佳点x = (1.5, 0.8)，f = 0.42，约束轻微违反 第3轮：找到改进点x = (1.8, 0.9)，f = 0.18，约束满足 第6轮：进一步优化到x = (1.9, 0.95)，f = 0.08 第10轮：收敛到近似最优解x ≈ (2.0, 1.0)，f ≈ 0.0 第七步：收敛性分析 检查收敛条件： 连续3次迭代的目标函数改进小于0.001 新样本点与已有样本点的最小距离小于0.01 采集函数的最大值小于阈值 最终得到近似最优解：x* ≈ (2.0, 1.0)，f* ≈ 0.0，所有约束满足。