非线性规划中的增广拉格朗日法基础题

字数 2342 2025-11-10 02:19:44

非线性规划中的增广拉格朗日法基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = x_1^2 + x_2^2\)
约束条件为 \(h(x) = x_1 + x_2 - 1 = 0\)。
使用增广拉格朗日法求解该问题，要求详细说明算法的迭代步骤、参数更新规则，并分析收敛性。

解题过程

问题分析
- 目标函数 \(f(x) = x_1^2 + x_2^2\) 是凸二次函数，约束 \(h(x) = x_1 + x_2 - 1 = 0\) 是线性约束。
- 该问题的最优解可通过拉格朗日法直接验证：由一阶最优性条件，解为 \(x_1 = x_2 = 0.5\)，最优值 \(f(x^*) = 0.5\)。
- 增广拉格朗日法通过结合拉格朗日函数和罚函数，改善收敛稳定性。
增广拉格朗日函数构造
- 定义增广拉格朗日函数：

\[ L_A(x, \lambda, \rho) = f(x) + \lambda h(x) + \frac{\rho}{2} [h(x)]^2 \]

 其中：  
 - $ \lambda $ 是拉格朗日乘子估计值；  
 - $ \rho > 0 $ 是罚参数，用于加强约束满足。

代入本题具体形式：

\[ L_A(x, \lambda, \rho) = x_1^2 + x_2^2 + \lambda (x_1 + x_2 - 1) + \frac{\rho}{2} (x_1 + x_2 - 1)^2 \]

算法迭代步骤
- 步骤0：初始化
  设定初始乘子 \(\lambda^{(0)}\)（例如 \(\lambda^{(0)} = 0\)）、罚参数 \(\rho^{(0)} > 0\)（例如 \(\rho^{(0)} = 1\)）、放大系数 \(\beta > 1\)（例如 \(\beta = 10\)），并设定容忍误差 \(\epsilon\)。
- 步骤1：求解无约束子问题
  在第 \(k\) 次迭代中，固定 \(\lambda^{(k)}\) 和 \(\rho^{(k)}\)，求解：

\[ x^{(k)} = \arg\min_x L_A(x, \lambda^{(k)}, \rho^{(k)}) \]

 - 对 $ L_A $ 求梯度并令其为0：

\[ \frac{\partial L_A}{\partial x_1} = 2x_1 + \lambda^{(k)} + \rho^{(k)}(x_1 + x_2 - 1) = 0 \]

\[ \frac{\partial L_A}{\partial x_2} = 2x_2 + \lambda^{(k)} + \rho^{(k)}(x_1 + x_2 - 1) = 0 \]

 - 由对称性得 $ x_1 = x_2 $，代入方程解得闭式解：

\[ x_1^{(k)} = x_2^{(k)} = \frac{\rho^{(k)} - \lambda^{(k)}}{2(1 + \rho^{(k)})} \]

步骤2：更新乘子
根据约束违反程度调整乘子：

\[ \lambda^{(k+1)} = \lambda^{(k)} + \rho^{(k)} h(x^{(k)}) \]

 其中 $ h(x^{(k)}) = x_1^{(k)} + x_2^{(k)} - 1 $。

步骤3：检查收敛性
若 \(|h(x^{(k)})| \leq \epsilon\)（例如 \(\epsilon = 10^{-6}\)），则停止；否则进入步骤4。
步骤4：更新罚参数（可选）
若约束违反程度下降不足，可增大罚参数：

\[ \rho^{(k+1)} = \beta \rho^{(k)} \]

 但本题中线性约束下通常无需频繁调整 $ \rho $。

数值演示（以 \(\lambda^{(0)} = 0, \rho^{(0)} = 1\) 为例）
- 迭代1：
  - 求解 \(x^{(1)} = \left( \frac{1 - 0}{2(1+1)}, \frac{1 - 0}{2(1+1)} \right) = (0.25, 0.25)\)
  - 约束违反度 \(h(x^{(1)}) = 0.25 + 0.25 - 1 = -0.5\)
  - 更新乘子 \(\lambda^{(1)} = 0 + 1 \times (-0.5) = -0.5\)
- 迭代2：
  - 求解 \(x^{(2)} = \left( \frac{1 - (-0.5)}{2(1+1)}, \frac{1 - (-0.5)}{2(1+1)} \right) = (0.375, 0.375)\)
  - 约束违反度 \(h(x^{(2)}) = 0.375 + 0.375 - 1 = -0.25\)
  - 更新乘子 \(\lambda^{(2)} = -0.5 + 1 \times (-0.25) = -0.75\)
- 继续迭代，\(x^{(k)}\) 趋近于 \((0.5, 0.5)\)，\(h(x^{(k)}) \to 0\)。
收敛性分析
- 在凸问题中，增广拉格朗日法对固定的 \(\rho\) 可收敛到全局最优，且无需 \(\rho \to \infty\)（区别于纯罚函数法）。
- 乘子更新相当于对偶上升，结合二次罚项改善数值稳定性。

总结
增广拉格朗日法通过交替优化原变量和更新乘子，逐步逼近约束问题的最优解，兼具拉格朗日法的精确性和罚函数的鲁棒性。

非线性规划中的增广拉格朗日法基础题题目描述考虑非线性规划问题：最小化 \( f(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 \) 约束条件为 \( h(x) = x_ 1 + x_ 2 - 1 = 0 \)。使用增广拉格朗日法求解该问题，要求详细说明算法的迭代步骤、参数更新规则，并分析收敛性。解题过程问题分析目标函数 \( f(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 \) 是凸二次函数，约束 \( h(x) = x_ 1 + x_ 2 - 1 = 0 \) 是线性约束。该问题的最优解可通过拉格朗日法直接验证：由一阶最优性条件，解为 \( x_ 1 = x_ 2 = 0.5 \)，最优值 \( f(x^* ) = 0.5 \)。增广拉格朗日法通过结合拉格朗日函数和罚函数，改善收敛稳定性。增广拉格朗日函数构造定义增广拉格朗日函数： \[ L_ A(x, \lambda, \rho) = f(x) + \lambda h(x) + \frac{\rho}{2} [ h(x) ]^2 \] 其中： \( \lambda \) 是拉格朗日乘子估计值； \( \rho > 0 \) 是罚参数，用于加强约束满足。代入本题具体形式： \[ L_ A(x, \lambda, \rho) = x_ 1^2 + x_ 2^2 + \lambda (x_ 1 + x_ 2 - 1) + \frac{\rho}{2} (x_ 1 + x_ 2 - 1)^2 \] 算法迭代步骤步骤0：初始化设定初始乘子 \( \lambda^{(0)} \)（例如 \( \lambda^{(0)} = 0 \)）、罚参数 \( \rho^{(0)} > 0 \)（例如 \( \rho^{(0)} = 1 \)）、放大系数 \( \beta > 1 \)（例如 \( \beta = 10 \)），并设定容忍误差 \( \epsilon \)。步骤1：求解无约束子问题在第 \( k \) 次迭代中，固定 \( \lambda^{(k)} \) 和 \( \rho^{(k)} \)，求解： \[ x^{(k)} = \arg\min_ x L_ A(x, \lambda^{(k)}, \rho^{(k)}) \] 对 \( L_ A \) 求梯度并令其为0： \[ \frac{\partial L_ A}{\partial x_ 1} = 2x_ 1 + \lambda^{(k)} + \rho^{(k)}(x_ 1 + x_ 2 - 1) = 0 \] \[ \frac{\partial L_ A}{\partial x_ 2} = 2x_ 2 + \lambda^{(k)} + \rho^{(k)}(x_ 1 + x_ 2 - 1) = 0 \] 由对称性得 \( x_ 1 = x_ 2 \)，代入方程解得闭式解： \[ x_ 1^{(k)} = x_ 2^{(k)} = \frac{\rho^{(k)} - \lambda^{(k)}}{2(1 + \rho^{(k)})} \] 步骤2：更新乘子根据约束违反程度调整乘子： \[ \lambda^{(k+1)} = \lambda^{(k)} + \rho^{(k)} h(x^{(k)}) \] 其中 \( h(x^{(k)}) = x_ 1^{(k)} + x_ 2^{(k)} - 1 \)。步骤3：检查收敛性若 \( |h(x^{(k)})| \leq \epsilon \)（例如 \( \epsilon = 10^{-6} \)），则停止；否则进入步骤4。步骤4：更新罚参数（可选）若约束违反程度下降不足，可增大罚参数： \[ \rho^{(k+1)} = \beta \rho^{(k)} \] 但本题中线性约束下通常无需频繁调整 \( \rho \)。数值演示（以 \( \lambda^{(0)} = 0, \rho^{(0)} = 1 \) 为例）迭代1 ：求解 \( x^{(1)} = \left( \frac{1 - 0}{2(1+1)}, \frac{1 - 0}{2(1+1)} \right) = (0.25, 0.25) \) 约束违反度 \( h(x^{(1)}) = 0.25 + 0.25 - 1 = -0.5 \) 更新乘子 \( \lambda^{(1)} = 0 + 1 \times (-0.5) = -0.5 \) 迭代2 ：求解 \( x^{(2)} = \left( \frac{1 - (-0.5)}{2(1+1)}, \frac{1 - (-0.5)}{2(1+1)} \right) = (0.375, 0.375) \) 约束违反度 \( h(x^{(2)}) = 0.375 + 0.375 - 1 = -0.25 \) 更新乘子 \( \lambda^{(2)} = -0.5 + 1 \times (-0.25) = -0.75 \) 继续迭代，\( x^{(k)} \) 趋近于 \( (0.5, 0.5) \)，\( h(x^{(k)}) \to 0 \)。收敛性分析在凸问题中，增广拉格朗日法对固定的 \( \rho \) 可收敛到全局最优，且无需 \( \rho \to \infty \)（区别于纯罚函数法）。乘子更新相当于对偶上升，结合二次罚项改善数值稳定性。总结增广拉格朗日法通过交替优化原变量和更新乘子，逐步逼近约束问题的最优解，兼具拉格朗日法的精确性和罚函数的鲁棒性。