积分近似为：  

高斯-勒让德求积公式在带峰值函数积分中的自适应区域分解技巧 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在积分区间内存在陡峭的峰值（例如高斯型峰值 \( e^{-\alpha (x - x_ 0)^2} \)）。峰值位置 \( x_ 0 \) 和宽度参数 \( \alpha \) 可能导致函数在局部区域变化剧烈，若直接使用高斯-勒让德求积公式，需大量节点才能捕捉峰值特征，计算效率低。要求通过自适应区域分解技术，仅在峰值附近加密节点，平衡计算精度与效率。 解题过程 问题分析 峰值函数的特征：在 \( x_ 0 \) 附近函数值大且导数大，远离峰值时函数平缓。 直接应用 \( n \) 阶高斯-勒让德公式可能因节点分布均匀而忽略峰值细节，导致积分误差集中峰值区域。 自适应区域分解的核心思想：根据函数变化程度动态划分子区间，在变化剧烈的子区间使用高阶求积公式或进一步分解。 自适应区域分解算法框架 步骤1 ：初始化全局积分区间 \([ -1, 1 ]\) 为初始子区间队列。 步骤2 ：从队列中取出一个子区间 \([ a, b]\)，在其上应用低阶（如 \( n=2 \)）和高阶（如 \( n=3 \)）高斯-勒让德公式，分别得到积分近似值 \( I_ {\text{low}} \) 和 \( I_ {\text{high}} \)。 步骤3 ：估计局部误差 \( E = |I_ {\text{high}} - I_ {\text{low}}| \)。若 \( E \leq \text{tol} \cdot (b-a) / 2 \)（其中 \(\text{tol}\) 为全局误差容限），接受 \( I_ {\text{high}} \) 作为该子区间贡献。 步骤4 ：若 \( E \) 超限，将 \([ a, b ]\) 均分为两个子区间，加入队列。 步骤5 ：重复步骤2-4，直到队列为空，总和所有接受子区间的积分值。 高斯-勒让德公式在子区间上的变换 标准高斯-勒让德公式节点 \( t_ i \) 和权重 \( w_ i \) 定义在 \([ -1, 1]\) 上。对子区间 \([ a, b ]\)，需线性变换： \[ x = \frac{b-a}{2} t + \frac{a+b}{2}, \quad dx = \frac{b-a}{2} dt \] 积分近似为： \[ \int_ a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_ {i=1}^n w_ i f\left( \frac{b-a}{2} t_ i + \frac{a+b}{2} \right) \] 峰值检测与初始分解引导 若峰值位置 \( x_ 0 \) 已知，可预先在 \( x_ 0 \) 附近划分密集子区间，加速收敛。 若峰值未知，可先以均匀粗网格计算函数二阶差分，在差分值大的区域优先分解。 误差控制与终止条件 全局误差受各子区间误差和影响，需满足 \( \sum E_ k \leq \text{tol} \)。 为避免无限分解，设置最小子区间长度限制（如 \( 10^{-6} \)）。 示例计算 考虑 \( f(x) = e^{-100(x-0.3)^2} \)，峰值在 \( x=0.3 \)，宽度 \( \alpha=100 \)： 初始区间 \([ -1, 1 ]\) 上低阶公式可能完全错过峰值。 自适应分解后，将在 \( x \in [ 0.2, 0.4 ] \) 生成多层子区间，而在平缓区域保留大区间，显著减少总节点数。 关键点总结 自适应区域分解通过局部误差估计动态加密节点，避免全局均匀加密的低效性。 高斯-勒让德公式在子区间上的变换保证每个局部积分的高精度。 该方法特别适合峰值函数、边界层函数等非均匀变化函数的积分。