自适应辛普森积分法在多元函数积分中的应用

题目描述
计算二重积分

\[I = \int_a^b \int_c^d f(x, y) \, dy \, dx \]

其中 \(f(x, y)\) 是定义在矩形区域 \([a, b] \times [c, d]\) 上的函数。要求使用自适应辛普森积分法，通过递归划分区域并控制误差，实现高精度数值积分。

解题过程

1. 问题分析

   • 二重积分需化为两次一重积分：先对 \(y\) 积分（内层），再对 \(x\) 积分（外层）。
   • 自适应辛普森法的核心思想：若一个子区间的积分误差超过阈值，则将该区间二分并递归计算。

2. 一维自适应辛普森法回顾
   对一维积分 \(\int_p^q g(t) \, dt\)，定义：

   • \(S_1\)：整个区间的一次辛普森公式（用区间端点、中点计算）。
   • \(S_2\)：将区间二分后，两个子区间辛普森结果之和。
   • 若 \(|S_1 - S_2| < \epsilon\)（误差容限），接受 \(S_2\)；否则递归处理两个子区间。

3. 扩展到二重积分

   • 将内层积分 \(\int_c^d f(x, y) \, dy\) 视为关于 \(x\) 的函数：

\[ F(x) = \int_c^d f(x, y) \, dy \]

• 外层积分变为 \(\int_a^b F(x) \, dx\)。
• 对每个固定的 \(x\)，用自适应辛普森法计算 \(F(x)\)（内层递归）；再用自适应辛普森法计算外层积分 \(I = \int_a^b F(x) \, dx\)（外层递归）。

4. 算法步骤
   步骤1：定义内层积分函数

   • 输入 \(x\)，计算 \(F(x) = \text{AdaptiveSimpson2D\_inner}(x, c, d, \epsilon_{\text{inner}})\)，其中：
     • 对 \(y\) 的积分区间 \([c, d]\) 应用自适应辛普森法。
     • \(\epsilon_{\text{inner}}\) 是内层误差容限（通常比外层更严格）。

   步骤2：外层积分计算

   • 调用 \(\text{AdaptiveSimpson2D\_outer}(a, b, \epsilon_{\text{outer}})\)，其中：
     • 对每个 \(x\)，通过内层递归计算 \(F(x)\)。
     • 外层递归控制 \(x\) 方向的划分。

   步骤3：误差控制策略

   • 内层误差 \(\epsilon_{\text{inner}} = \frac{\epsilon}{(b-a)}\)，确保总误差 \(\propto \epsilon\)。
   • 避免过度递归：设置最大递归深度（如 20 层）。

5. 示例演示
   计算 \(I = \int_0^1 \int_0^1 \sin(xy) \, dy \, dx\)，取 \(\epsilon = 10^{-6}\)。

   • 内层：固定 \(x=0.5\)，计算 \(F(0.5) = \int_0^1 \sin(0.5y) \, dy\)。
     • 子区间 \([0,1]\) 的辛普森近似为 \(S_1\)，二分后得 \(S_2\)，比较误差。
   • 外层：对 \(x \in [0,1]\) 递归，调用内层计算每个 \(x\) 对应的 \(F(x)\)。

6. 复杂度与优化

   • 计算成本高：每次外层递归需多次内层递归。
   • 优化：缓存内层结果，避免重复计算；并行化外层循环。

总结
自适应辛普森法通过递归划分和误差控制，可灵活处理多元积分中的峰值或边界层问题。关键是将高维积分转化为嵌套的一维自适应积分，并精细调整误差容限以保证精度。