基于密度的聚类算法：DBSCAN的详细步骤与实现 题目描述 DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）是一种基于密度的聚类算法，能够发现任意形状的簇，并有效识别噪声点。其核心思想是：簇由密度相连的点的最大集合构成。题目要求详细解释DBSCAN的密度定义、聚类过程及参数选择。 解题过程 1. 核心概念定义 ε-邻域 ：以某个点为中心、半径为ε的圆形区域内的所有点集合。 核心点 ：若一个点的ε-邻域内至少包含MinPts个点（包括自身），则该点为核心点。 直接密度可达 ：若点q在点p的ε-邻域内，且p是核心点，则称q从p直接密度可达。 密度可达 ：若存在一条路径p₁→p₂→...→pₖ，其中每个点从上一个点直接密度可达，则pₖ从p₁密度可达。 密度相连 ：若存在点o，使得点p和q均从o密度可达，则p和q密度相连。 噪声点 ：不属于任何簇的点（即无法从任何核心点密度可达）。 2. 算法步骤 步骤1：参数初始化 输入数据集D、邻域半径ε、最小点数MinPts。 初始化所有点标签为“未访问”。 步骤2：核心点识别 遍历每个未访问点p，计算其ε-邻域内点的数量。 若数量≥MinPts，将p标记为核心点，并创建一个新簇C；否则暂标记为噪声点（可能后续被重新分类）。 步骤3：簇扩展 对核心点p，将其ε-邻域内所有点加入簇C（包括非核心点）。 递归检查新加入的核心点的邻域，将其中未归入任何簇的点加入C（密度可达性传播）。 步骤4：噪声点确认 所有未被归入任何簇的点最终标记为噪声。 3. 参数选择与复杂度分析 ε选择 ：可通过k-距离图（排序每个点到第k近邻的距离）的拐点确定ε。 MinPts选择 ：通常取2×数据维度，但需结合具体数据分布调整。 时间复杂度 ：若使用空间索引（如KD树）优化邻域查询，可达O(n log n)；最坏情况（暴力搜索）为O(n²)。 4. 示例演示（简化） 假设ε=1.0, MinPts=3，数据点坐标： A(0,0), B(0,1), C(1,1), D(3,3), E(3,4) A的邻域：{A,B,C}（数量=3）→核心点，创建簇1。 扩展：B和C的邻域均被加入簇1。 D的邻域：{D,E}（数量=2）→非核心点，暂标记噪声。 E的邻域：{D,E}（数量=2）→非核心点，最终与D同为噪声。 关键点总结 DBSCAN依赖密度连续性而非球形假设，适用于非凸簇。 对噪声和参数敏感，需谨慎选择ε和MinPts。 与K-means对比：无需指定簇数，但无法处理密度差异大的簇。