高斯-勒让德求积公式在带峰值函数积分中的自适应区域分解技巧 题目描述 考虑计算定积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 上存在陡峭的峰值（例如高斯型峰值 \( f(x) = e^{-1000(x-0.5)^2} \)）。峰值区域宽度极窄，但函数值变化剧烈，若直接应用低阶高斯-勒让德求积公式，可能因节点分布稀疏而漏掉峰值细节，导致积分误差较大。本题要求通过自适应区域分解策略，动态识别峰值区域并局部加密节点，以提高积分精度。 解题过程 高斯-勒让德求积公式基础 在区间 \([ -1, 1]\) 上，\( n \) 阶高斯-勒让德公式的节点 \( x_ i \) 是勒让德多项式 \( P_ n(x) \) 的零点，权重 \( w_ i \) 由公式 \( w_ i = \frac{2}{(1-x_ i^2)[ P_ n'(x_ i)]^2} \) 计算。积分近似为 \( I \approx \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i) \)。 问题：固定节点数的公式对平滑函数有效，但峰值函数在窄区间内变化快，需局部增加节点密度。 自适应区域分解策略 步骤1：初始分割 将 \([ -1, 1 ]\) 等分为若干子区间（如2个），在每个子区间上应用低阶（如3阶）高斯-勒让德公式，得到局部积分值。 步骤2：误差估计 在同一子区间上，分别用低阶（\( n_ 1 \) 阶）和高阶（\( n_ 2 \) 阶，如 \( n_ 1=3, n_ 2=5 \)）公式计算积分，差值 \( E = |I_ {n_ 2} - I_ {n_ 1}| \) 作为误差估计。若 \( E > \tau \)（预设容差），标记该区间需进一步分解。 步骤3：递归分解 对误差超标的区间二等分，在每个新子区间上重复步骤2，直到所有子区间误差满足 \( E \leq \tau \) 或达到最大分解深度（防止无限递归）。 步骤4：结果汇总 将所有子区间的积分值求和，得到全局积分近似。 峰值区域的针对性处理 在误差估计中，峰值区域因函数值梯度大，易触发分解条件。通过递归分解，峰值附近子区间尺寸减小，节点局部加密，从而更精确捕捉峰值贡献。 示例：对 \( f(x) = e^{-1000(x-0.5)^2} \)，初始分割后，区间 \([ 0.4, 0.6 ]\) 的误差显著超标，被反复分解至宽度 \( \sim 10^{-3} \)，最终在峰值中心附近密集布点。 复杂度与收敛性 自适应策略避免全局均匀加密，计算量集中于峰值区域，效率高于高阶统一公式。 收敛性由局部公式的代数精度保证：若子区间足够小，函数近似平滑，高斯公式误差以 \( O(h^{2n}) \) 速度下降（\( h \) 为区间宽度）。 总结 自适应区域分解将全局积分问题转化为局部平滑函数的积分求和，通过动态调整节点分布，有效处理峰值函数的奇异性，平衡计算精度与效率。