排序算法之：Spread Sort（扩散排序）的分布优化策略与混合排序实现

题目描述
Spread Sort是一种高效的混合排序算法，结合了桶排序和快速排序的思想，特别适合处理非均匀分布的实数数据。其核心思想是通过分布分析将元素分散到多个桶中，再对每个桶使用快速排序等算法进行排序。题目要求实现Spread Sort，并分析其分布优化策略如何提升非均匀分布数据的排序性能。

解题过程

1. 算法核心思想

   • Spread Sort首先分析输入数据的分布特征，通过计算数据的最大值、最小值和分布密度，动态确定桶的数量和边界。
   • 目标是将数据尽可能均匀地分到桶中，减少后续排序的规模，避免快速排序在最坏情况下的性能退化。

2. 步骤1：数据分布分析

   • 遍历数组，确定最小值（min_val）和最大值（max_val）。
   • 计算数据范围：range = max_val - min_val。
   • 根据数据范围和数据量（n）动态确定桶的数量（bucket_count）。常用公式为：

\[ \text{bucket\_count} = \sqrt{n} \quad \text{或} \quad \text{bucket\_count} = \frac{n}{\log n} \]

• 例如，若 n = 100，则桶数量可设为10（√100）或20（100/log₂100 ≈ 15）。

3. 步骤2：分配元素到桶中
   • 为每个桶分配一个区间范围。第 i 个桶的区间为：

\[ \left[\text{min\_val} + i \times \frac{\text{range}}{\text{bucket\_count}},\ \text{min\_val} + (i+1) \times \frac{\text{range}}{\text{bucket\_count}}\right) \]

• 遍历数组，将每个元素根据值映射到对应的桶中。映射公式为：

\[ \text{bucket\_index} = \left\lfloor \frac{\text{value} - \text{min\_val}}{\text{range}} \times \text{bucket\_count} \right\rfloor \]

• 注意边界处理：最大值 max_val 应放入最后一个桶（索引为 bucket_count - 1）。

4. 步骤3：处理非均匀分布的优化

   • 若数据分布极度不均匀（例如大量元素集中在少数桶中），可递归地对这些桶再次应用Spread Sort，而不是直接使用快速排序。
   • 递归终止条件：当桶内元素数量小于阈值（如10）时，切换为插入排序。

5. 步骤4：排序每个桶并合并

   • 对每个非空桶内的元素调用快速排序（或插入排序处理小规模数据）。
   • 按桶的顺序（从0到 bucket_count - 1）将排序后的桶内容依次合并到结果数组中。

6. 复杂度分析

   • 平均时间复杂度：O(n + k)，其中k为桶内排序的复杂度。在理想分布下接近O(n)。
   • 最坏情况（所有元素挤在一个桶内）：退化为O(n log n)，但通过递归优化可缓解。
   • 空间复杂度：O(n)（存储桶和递归栈）。

示例演示
假设数组为 [3.2, 1.8, 5.4, 2.1, 3.9]，n = 5，设桶数量为3：

1. min_val = 1.8, max_val = 5.4, range = 3.6。
2. 桶区间：桶0=[1.8, 3.0)，桶1=[3.0, 4.2)，桶2=[4.2, 5.4]。
3. 分配结果：
   • 桶0：[1.8, 2.1]
   • 桶1：[3.2, 3.9]
   • 桶2：[5.4]
4. 分别排序各桶后合并：[1.8, 2.1, 3.2, 3.9, 5.4]。

关键优化点

• 动态桶数量适应数据规模，避免桶过多或过少。
• 递归处理密集桶，防止性能退化。
• 混合排序策略（快速排序+插入排序）提升实际效率。