基于线性规划的图最小费用循环流问题求解示例
字数 1827 2025-11-09 16:48:11

基于线性规划的图最小费用循环流问题求解示例

题目描述
考虑一个带权有向图 \(G = (V, E)\)，每条边 \((i, j) \in E\) 有三个属性：

  • 容量上界 \(u_{ij}\)（非负实数）
  • 单位流量的费用 \(c_{ij}\)（实数）
  • 容量下界 \(l_{ij}\)（默认为 0，可推广到非零值）

图中无源点和汇点，但每个节点 \(i \in V\) 有一个净流量需求 \(b_i\)（流出减流入），需满足 \(\sum_{i \in V} b_i = 0\)。目标：找到一组边流量 \(x_{ij}\)，在满足容量约束和流量平衡的前提下，最小化总费用。数学模型如下：

\[\begin{align} \min \quad & \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} x_{ij} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{j: (i,j) \in E} x_{ij} - \sum_{j: (j,i) \in E} x_{ji} = b_i \quad \forall i \in V \quad \text{(流量平衡)} \\ & l_{ij} \leq x_{ij} \leq u_{ij} \quad \forall (i,j) \in E \quad \text{(容量约束)} \end{align} \]

解题步骤

  1. 问题转化

    • 若存在下界 \(l_{ij} > 0\)，可通过变量替换 \(x'_{ij} = x_{ij} - l_{ij}\) 将其转化为标准形式，同时调整节点的净需求 \(b_i\)（例如，从节点 \(i\) 的 \(b_i\) 中减去 \(l_{ij}\)，向节点 \(j\) 的 \(b_j\) 加上 \(l_{ij}\)）。
    • 替换后目标函数变为 \(\sum c_{ij} x'_{ij} + \text{常数}\)，常数项可忽略。

  2. 构建线性规划模型

    • 变量：每条边的流量 \(x_{ij}\)（或替换后的 \(x'_{ij}\)）。
    • 约束分为两类：
      （1）流量平衡约束（每个节点对应一个方程）
      （2）容量约束（每个边对应两个不等式，可通过松弛变量转化为等式）。
    • 目标函数为流量与费用的加权和。

  3. 应用单纯形法求解

    • 初始基解：引入人工变量或利用图结构生成初始可行解（如通过虚拟流）。
    • 迭代过程：
      • 计算检验数 \(\sigma_{ij} = c_{ij} - \pi_i + \pi_j\)（其中 \(\pi_i\) 是对偶变量，即节点势）。
      • 若存在边 \((i,j)\) 满足 \(\sigma_{ij} < 0\) 且 \(x_{ij} < u_{ij}\)，或 \(\sigma_{ij} > 0\) 且 \(x_{ij} > l_{ij}\)，则当前解非最优。
      • 选择检验数最小的边进入基，通过比率测试确定离基变量，更新流量和势向量。
    • 终止条件：所有检验数满足最优性条件（即无改进空间）。

  4. 处理无界解与不可行性

    • 若图中存在负费用循环且容量无界，问题无界（实际中通常有容量限制）。
    • 若流量平衡约束与容量约束冲突（如 \(\sum b_i \neq 0\) 或容量无法满足需求），问题不可行。

  5. 示例验证
    假设一个简单图：节点 \(V = \{1,2\}\)，边 \(E = \{(1,2), (2,1)\}\)，参数如下：

    • \(c_{12} = 2, u_{12} = 5, l_{12} = 0\)
    • \(c_{21} = 1, u_{21} = 3, l_{21} = 0\)
    • \(b_1 = 2, b_2 = -2\)
    • 求解得最优解：\(x_{12} = 5, x_{21} = 3\)（总费用 \(2 \times 5 + 1 \times 3 = 13\)），验证流量平衡（节点1净流出 \(5-3=2\)，节点2净流入 \(3-5=-2\)）。

关键点

  • 该问题是网络流问题的推广，单纯形法在此类问题中效率较高（通常表现为运输问题或最小费用流问题）。
  • 实际应用中可用于通信网络路由、供应链循环配送等场景。
基于线性规划的图最小费用循环流问题求解示例 题目描述 考虑一个带权有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( (i, j) \in E \) 有三个属性： 容量上界 \( u_ {ij} \)（非负实数） 单位流量的费用 \( c_ {ij} \)（实数） 容量下界 \( l_ {ij} \)（默认为 0，可推广到非零值） 图中无源点和汇点，但每个节点 \( i \in V \) 有一个净流量需求 \( b_ i \)（流出减流入），需满足 \( \sum_ {i \in V} b_ i = 0 \)。目标：找到一组边流量 \( x_ {ij} \)，在满足容量约束和流量平衡的前提下，最小化总费用。数学模型如下： \[ \begin{align} \min \quad & \sum_ {(i,j) \in E} c_ {ij} x_ {ij} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {j: (i,j) \in E} x_ {ij} - \sum_ {j: (j,i) \in E} x_ {ji} = b_ i \quad \forall i \in V \quad \text{(流量平衡)} \\ & l_ {ij} \leq x_ {ij} \leq u_ {ij} \quad \forall (i,j) \in E \quad \text{(容量约束)} \end{align} \] 解题步骤 问题转化 若存在下界 \( l_ {ij} > 0 \)，可通过变量替换 \( x' {ij} = x {ij} - l_ {ij} \) 将其转化为标准形式，同时调整节点的净需求 \( b_ i \)（例如，从节点 \( i \) 的 \( b_ i \) 中减去 \( l_ {ij} \)，向节点 \( j \) 的 \( b_ j \) 加上 \( l_ {ij} \)）。 替换后目标函数变为 \( \sum c_ {ij} x'_ {ij} + \text{常数} \)，常数项可忽略。 构建线性规划模型 变量：每条边的流量 \( x_ {ij} \)（或替换后的 \( x'_ {ij} \)）。 约束分为两类： （1）流量平衡约束（每个节点对应一个方程） （2）容量约束（每个边对应两个不等式，可通过松弛变量转化为等式）。 目标函数为流量与费用的加权和。 应用单纯形法求解 初始基解 ：引入人工变量或利用图结构生成初始可行解（如通过虚拟流）。 迭代过程 ： 计算检验数 \( \sigma_ {ij} = c_ {ij} - \pi_ i + \pi_ j \)（其中 \( \pi_ i \) 是对偶变量，即节点势）。 若存在边 \( (i,j) \) 满足 \( \sigma_ {ij} < 0 \) 且 \( x_ {ij} < u_ {ij} \)，或 \( \sigma_ {ij} > 0 \) 且 \( x_ {ij} > l_ {ij} \)，则当前解非最优。 选择检验数最小的边进入基，通过比率测试确定离基变量，更新流量和势向量。 终止条件 ：所有检验数满足最优性条件（即无改进空间）。 处理无界解与不可行性 若图中存在负费用循环且容量无界，问题无界（实际中通常有容量限制）。 若流量平衡约束与容量约束冲突（如 \(\sum b_ i \neq 0\) 或容量无法满足需求），问题不可行。 示例验证 假设一个简单图：节点 \( V = \{1,2\} \)，边 \( E = \{(1,2), (2,1)\} \)，参数如下： \( c_ {12} = 2, u_ {12} = 5, l_ {12} = 0 \) \( c_ {21} = 1, u_ {21} = 3, l_ {21} = 0 \) \( b_ 1 = 2, b_ 2 = -2 \) 求解得最优解：\( x_ {12} = 5, x_ {21} = 3 \)（总费用 \( 2 \times 5 + 1 \times 3 = 13 \)），验证流量平衡（节点1净流出 \( 5-3=2 \)，节点2净流入 \( 3-5=-2 \)）。 关键点 该问题是网络流问题的推广，单纯形法在此类问题中效率较高（通常表现为运输问题或最小费用流问题）。 实际应用中可用于通信网络路由、供应链循环配送等场景。