SM4分组密码算法的非线性变换τ详解

SM4是一种分组密码算法，使用128位分组长度和128位密钥。其非线性变换τ是轮函数的核心组成部分，负责提供算法的混淆特性，确保安全性。

1. 非线性变换τ的基本作用

• τ是一个4字节输入、4字节输出的非线性置换，由4个并行的8位S盒构成。
• 输入：32位字（分为4个字节，如X = (x₀, x₁, x₂, x₃)）。
• 输出：32位字Y = (y₀, y₁, y₂, y₃)，其中每个yᵢ由S盒独立处理xᵢ得到，即yᵢ = S(xᵢ)。
• 核心目标：打破输入与输出之间的线性关系，抵抗线性密码分析。

2. S盒的具体设计

• S盒是一个8位到8位的置换表，通过复合运算实现：
  1. 有限域求逆：在GF(2⁸)上，计算输入字节a的乘法逆（0映射到自身）。
  2. 仿射变换：对逆结果应用一个可逆的线性变换，形式为Y = AX + C，其中A是8×8矩阵，C是常数。
• 具体步骤：
  • 设输入为x，先计算其在GF(2⁸)上的逆x⁻¹（使用不可约多项式m(x) = x⁸ + x⁷ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x² + 1）。
  • 然后进行仿射变换：y = A · x⁻¹ ⊕ C，其中A和C由算法标准定义。
• 设计特点：S盒具有均匀性和非线性度，确保差分均匀性为4，抵抗差分分析。

3. τ在轮函数中的整合

• 每轮输入为128位状态，分为4个32位字（X₀, X₁, X₂, X₃）。
• 轮函数F的计算包含τ变换：
  • 首先，计算中间值：T = X₁ ⊕ X₂ ⊕ X₃ ⊕ RK（RK为轮密钥）。
  • 然后，对T应用τ变换：T' = τ(T) = (S(t₀), S(t₁), S(t₂), S(t₃))，其中tᵢ是T的4个字节。
  • 最后，将T'与X₀进行异或，并循环左移得到本轮输出。
• 通过这种设计，τ与线性变换（如循环移位）结合，实现混淆-扩散。

4. 安全性分析

• 非线性度：S盒的非线性度为112，有效抵抗线性攻击。
• 差分特性：S盒的最大差分概率为2⁻⁶，32轮迭代后可抵御差分密码分析。
• 与密钥扩展结合：轮密钥的异或操作确保τ的输入与密钥相关，增强安全性。

总结：τ变换通过S盒提供非线性，是SM4抵抗密码分析的关键。其设计兼顾效率与安全性，确保算法在硬件和软件实现中均表现优异。