基于线性规划的拉格朗日松弛算法求解示例
字数 2776 2025-11-09 13:52:02

基于线性规划的拉格朗日松弛算法求解示例

题目描述
考虑一个整数规划问题：

\[\begin{aligned} \min \quad & 4x_1 + 5x_2 \\ \text{s.t.} \quad & 3x_1 + 2x_2 \geq 10 \quad (\text{约束1}) \\ & x_1 + 4x_2 \geq 12 \quad (\text{约束2}) \\ & x_1, x_2 \in \mathbb{Z}^+ \end{aligned} \]

由于整数约束导致问题难以直接求解，我们使用拉格朗日松弛方法将问题转化为更容易求解的形式。具体地，将约束1和约束2松弛到目标函数中，并引入拉格朗日乘子 \(\lambda_1, \lambda_2 \geq 0\)，得到松弛问题。

解题过程

步骤1：构造拉格朗日松弛问题
将约束1和约束2乘以拉格朗日乘子后加入目标函数：

\[L(\lambda_1, \lambda_2) = \min_{x_1, x_2 \in \mathbb{Z}^+} \left[ 4x_1 + 5x_2 + \lambda_1 (10 - 3x_1 - 2x_2) + \lambda_2 (12 - x_1 - 4x_2) \right] \]

整理目标函数：

\[L(\lambda_1, \lambda_2) = \min_{x_1, x_2 \in \mathbb{Z}^+} \left[ (4 - 3\lambda_1 - \lambda_2)x_1 + (5 - 2\lambda_1 - 4\lambda_2)x_2 + 10\lambda_1 + 12\lambda_2 \right] \]

步骤2：求解松弛问题
对于固定的 \(\lambda_1, \lambda_2\)，松弛问题变为两个独立的整数变量优化：

  • 若 \(4 - 3\lambda_1 - \lambda_2 < 0\)，则 \(x_1\) 应取尽可能大的值，但问题无上界约束，需根据实际场景添加边界（例如假设 \(x_1, x_2 \leq M\)）。这里假设变量有上界 \(M=10\)（实际中需根据问题设定）。
  • 但更常见的做法是：由于原问题有不等式约束 \(\geq\)，松弛后的问题中，若变量系数为负，则变量取最大值；若系数为正，则取最小值（0）。

系数分析：
令 \(c_1 = 4 - 3\lambda_1 - \lambda_2\), \(c_2 = 5 - 2\lambda_1 - 4\lambda_2\)。

  • 若 \(c_1 \geq 0\)，则最优解中 \(x_1 = 0\)；否则 \(x_1 = M\)。
  • 若 \(c_2 \geq 0\)，则 \(x_2 = 0\)；否则 \(x_2 = M\)。

步骤3：设定乘子更新规则
拉格朗日对偶问题为：

\[\max_{\lambda_1, \lambda_2 \geq 0} L(\lambda_1, \lambda_2) \]

使用次梯度法更新乘子：

  1. 初始化 \(\lambda_1^0 = 0, \lambda_2^0 = 0\)，设定步长 \(t_k = 1 / \sqrt{k+1}\)。
  2. 在第 \(k\) 次迭代中：
    • 求解 \(L(\lambda_1^k, \lambda_2^k)\) 得到 \(x^k\)。
    • 计算次梯度：

\[ g_1^k = 10 - 3x_1^k - 2x_2^k, \quad g_2^k = 12 - x_1^k - 4x_2^k \]

  • 更新乘子：

\[ \lambda_1^{k+1} = \max(0, \lambda_1^k + t_k g_1^k), \quad \lambda_2^{k+1} = \max(0, \lambda_2^k + t_k g_2^k) \]

步骤4：迭代计算

  • 迭代1：\(\lambda_1^0=0, \lambda_2^0=0\)
    \(c_1 = 4 > 0, c_2 = 5 > 0\) → \(x_1=0, x_2=0\)
    目标值 \(L=0 + 10\cdot 0 + 12\cdot 0 = 0\)
    次梯度 \(g_1 = 10 - 0 - 0 = 10, g_2 = 12 - 0 - 0 = 12\)
    更新：\(\lambda_1^1 = 0 + \frac{1}{1} \cdot 10 = 10, \lambda_2^1 = 0 + \frac{1}{1} \cdot 12 = 12\)

  • 迭代2：\(\lambda_1=10, \lambda_2=12\)
    \(c_1 = 4 - 3\cdot 10 - 12 = -38 < 0\) → \(x_1 = M=10\)
    \(c_2 = 5 - 2\cdot 10 - 4\cdot 12 = -63 < 0\) → \(x_2 = M=10\)
    \(L = -38\cdot 10 + (-63)\cdot 10 + 10\cdot 10 + 12\cdot 12 = -380 - 630 + 100 + 144 = -766\)
    次梯度 \(g_1 = 10 - 3\cdot 10 - 2\cdot 10 = -40, g_2 = 12 - 10 - 4\cdot 10 = -38\)
    更新：\(\lambda_1^2 = \max(0, 10 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (-40)) \approx 10 - 28.28 < 0 \) → 取 0
    \(\lambda_2^2 = \max(0, 12 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (-38)) \approx 12 - 26.87 < 0 \) → 取 0

  • 迭代3：乘子回到0，重复迭代1。为避免循环，需调整步长或使用更智能的更新规则（如自适应步长）。

步骤5：获取近似解
在迭代过程中记录最优可行解（满足原约束的 \(x\)）。例如，当乘子使松弛问题解接近可行时，对解进行修正（如向上取整）使其可行，并计算目标值。最终选择目标值最小的可行解作为近似解。

总结
拉格朗日松弛通过将困难约束放入目标函数，将原问题分解为易求解的子问题。次梯度法优化乘子，逐步逼近原问题的最优下界。此方法特别适用于整数规划或复杂约束问题，但需注意收敛性和可行解的构造。

基于线性规划的拉格朗日松弛算法求解示例 题目描述 考虑一个整数规划问题： \[ \begin{aligned} \min \quad & 4x_ 1 + 5x_ 2 \\ \text{s.t.} \quad & 3x_ 1 + 2x_ 2 \geq 10 \quad (\text{约束1}) \\ & x_ 1 + 4x_ 2 \geq 12 \quad (\text{约束2}) \\ & x_ 1, x_ 2 \in \mathbb{Z}^+ \end{aligned} \] 由于整数约束导致问题难以直接求解，我们使用 拉格朗日松弛 方法将问题转化为更容易求解的形式。具体地，将约束1和约束2松弛到目标函数中，并引入拉格朗日乘子 \(\lambda_ 1, \lambda_ 2 \geq 0\)，得到松弛问题。 解题过程 步骤1：构造拉格朗日松弛问题 将约束1和约束2乘以拉格朗日乘子后加入目标函数： \[ L(\lambda_ 1, \lambda_ 2) = \min_ {x_ 1, x_ 2 \in \mathbb{Z}^+} \left[ 4x_ 1 + 5x_ 2 + \lambda_ 1 (10 - 3x_ 1 - 2x_ 2) + \lambda_ 2 (12 - x_ 1 - 4x_ 2) \right ] \] 整理目标函数： \[ L(\lambda_ 1, \lambda_ 2) = \min_ {x_ 1, x_ 2 \in \mathbb{Z}^+} \left[ (4 - 3\lambda_ 1 - \lambda_ 2)x_ 1 + (5 - 2\lambda_ 1 - 4\lambda_ 2)x_ 2 + 10\lambda_ 1 + 12\lambda_ 2 \right ] \] 步骤2：求解松弛问题 对于固定的 \(\lambda_ 1, \lambda_ 2\)，松弛问题变为两个独立的整数变量优化： 若 \(4 - 3\lambda_ 1 - \lambda_ 2 < 0\)，则 \(x_ 1\) 应取尽可能大的值，但问题无上界约束，需根据实际场景添加边界（例如假设 \(x_ 1, x_ 2 \leq M\)）。这里假设变量有上界 \(M=10\)（实际中需根据问题设定）。 但更常见的做法是：由于原问题有不等式约束 \(\geq\)，松弛后的问题中，若变量系数为负，则变量取最大值；若系数为正，则取最小值（0）。 系数分析 ： 令 \(c_ 1 = 4 - 3\lambda_ 1 - \lambda_ 2\), \(c_ 2 = 5 - 2\lambda_ 1 - 4\lambda_ 2\)。 若 \(c_ 1 \geq 0\)，则最优解中 \(x_ 1 = 0\)；否则 \(x_ 1 = M\)。 若 \(c_ 2 \geq 0\)，则 \(x_ 2 = 0\)；否则 \(x_ 2 = M\)。 步骤3：设定乘子更新规则 拉格朗日对偶问题为： \[ \max_ {\lambda_ 1, \lambda_ 2 \geq 0} L(\lambda_ 1, \lambda_ 2) \] 使用 次梯度法 更新乘子： 初始化 \(\lambda_ 1^0 = 0, \lambda_ 2^0 = 0\)，设定步长 \(t_ k = 1 / \sqrt{k+1}\)。 在第 \(k\) 次迭代中： 求解 \(L(\lambda_ 1^k, \lambda_ 2^k)\) 得到 \(x^k\)。 计算次梯度： \[ g_ 1^k = 10 - 3x_ 1^k - 2x_ 2^k, \quad g_ 2^k = 12 - x_ 1^k - 4x_ 2^k \] 更新乘子： \[ \lambda_ 1^{k+1} = \max(0, \lambda_ 1^k + t_ k g_ 1^k), \quad \lambda_ 2^{k+1} = \max(0, \lambda_ 2^k + t_ k g_ 2^k) \] 步骤4：迭代计算 迭代1 ：\(\lambda_ 1^0=0, \lambda_ 2^0=0\) \(c_ 1 = 4 > 0, c_ 2 = 5 > 0\) → \(x_ 1=0, x_ 2=0\) 目标值 \(L=0 + 10\cdot 0 + 12\cdot 0 = 0\) 次梯度 \(g_ 1 = 10 - 0 - 0 = 10, g_ 2 = 12 - 0 - 0 = 12\) 更新：\(\lambda_ 1^1 = 0 + \frac{1}{1} \cdot 10 = 10, \lambda_ 2^1 = 0 + \frac{1}{1} \cdot 12 = 12\) 迭代2 ：\(\lambda_ 1=10, \lambda_ 2=12\) \(c_ 1 = 4 - 3\cdot 10 - 12 = -38 < 0\) → \(x_ 1 = M=10\) \(c_ 2 = 5 - 2\cdot 10 - 4\cdot 12 = -63 < 0\) → \(x_ 2 = M=10\) \(L = -38\cdot 10 + (-63)\cdot 10 + 10\cdot 10 + 12\cdot 12 = -380 - 630 + 100 + 144 = -766\) 次梯度 \(g_ 1 = 10 - 3\cdot 10 - 2\cdot 10 = -40, g_ 2 = 12 - 10 - 4\cdot 10 = -38\) 更新：\(\lambda_ 1^2 = \max(0, 10 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (-40)) \approx 10 - 28.28 < 0 \) → 取 0 \(\lambda_ 2^2 = \max(0, 12 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (-38)) \approx 12 - 26.87 < 0 \) → 取 0 迭代3 ：乘子回到0，重复迭代1。为避免循环，需调整步长或使用更智能的更新规则（如自适应步长）。 步骤5：获取近似解 在迭代过程中记录最优可行解（满足原约束的 \(x\)）。例如，当乘子使松弛问题解接近可行时，对解进行修正（如向上取整）使其可行，并计算目标值。最终选择目标值最小的可行解作为近似解。 总结 拉格朗日松弛通过将困难约束放入目标函数，将原问题分解为易求解的子问题。次梯度法优化乘子，逐步逼近原问题的最优下界。此方法特别适用于整数规划或复杂约束问题，但需注意收敛性和可行解的构造。