隐式狄利克雷分布（LDA）的随机变分推断（SVI）算法原理与参数估计过程
字数 1878 2025-11-09 12:31:36

隐式狄利克雷分布（LDA）的随机变分推断（SVI）算法原理与参数估计过程

1. 问题描述
隐式狄利克雷分布（Latent Dirichlet Allocation, LDA）是一种主题模型，用于从文本集合中自动发现潜在主题。给定文档集合，LDA假设每篇文档是多个主题的混合，每个主题是词语的概率分布。模型参数包括文档-主题分布（θ）和主题-词语分布（φ），两者分别服从狄利克雷先验。传统变分推断（VI）需遍历整个数据集计算后验分布，计算成本高。随机变分推断（Stochastic Variational Inference, SVI）通过随机梯度下降，仅用少量数据（如单篇文档）迭代更新参数，适用于大规模数据。

2. 关键概念与模型设定

  • 生成过程：

    1. 对每个主题k，从狄利克雷分布采样φ_k ~ Dir(β)（主题-词语分布）。
    2. 对每篇文档d：
      • 采样主题分布θ_d ~ Dir(α)（文档-主题分布）。
      • 对文档中每个词位置n：
        • 采样主题z_{d,n} ~ Multinomial(θ_d)。
        • 采样词语w_{d,n} ~ Multinomial(φ_{z_{d,n}})。

  • 目标：估计后验分布p(θ, φ, z | w, α, β)，由于后验难直接计算，采用变分推断近似。

3. 变分分布与证据下界（ELBO）

  • 变分分布：假设后验可分解为
    q(θ, φ, z) = ∏d q(θ_d | γ_d) ∏k q(φ_k | λ_k) ∏{d,n} q(z{d,n} | ϕ_{d,n})，
    其中γ_d为文档d的主题分布参数，λ_k为主题k的词语分布参数，ϕ_{d,n}为词n的主题分配参数。
  • ELBO最大化：通过优化变分参数{γ, λ, ϕ}使ELBO接近真实对数似然。ELBO表达式为：
    ELBO = E_q[log p(w, θ, φ, z)] - E_q[log q(θ, φ, z)]。

4. 随机变分推断（SVI）步骤
SVI将全局参数（λ_k，主题-词语分布）和局部参数（γ_d, ϕ_{d,n}，文档相关）分离，通过随机采样文档子集更新全局参数：

步骤1：初始化全局参数λ_k

  • 对每个主题k，随机初始化λ_k（如全1向量）。

步骤2：迭代更新
对每次迭代t：

  1. 随机采样文档：从数据集中均匀采样一篇文档d（或一小批文档）。
  2. 局部变分推断（固定全局参数λ）：
    • 计算当前文档的局部变分参数γ_d和ϕ_{d,n}：
      • 初始化γ_d = α + D/N（D为文档长度，N为词数）。
      • 迭代更新ϕ_{d,n}和γ_d直至收敛：
        • 对每个词n：ϕ_{d,n,k} ∝ exp(E_q[log θ_{d,k}] + E_q[log φ_{k,w_{d,n}}])，
          其中E_q[log θ_{d,k}] = Ψ(γ_{d,k}) - Ψ(∑j γ{d,j})（Ψ为Digamma函数），
          E_q[log φ_{k,v}] = Ψ(λ_{k,v}) - Ψ(∑v λ{k,v}）。
        • 更新γ_d = α + ∑n ϕ{d,n}。
  3. 全局参数更新（自然梯度下降）：
    • 计算主题k的局部充分统计量：λ̂_k = η + D_d ∑n ϕ{d,n,k} · one-hot(w_{d,n})，
      其中η是狄利克雷先验参数（如β），D_d为文档d的词数。
    • 更新全局参数：λ_k^{(t)} = (1 - ρ_t) λ_k^{(t-1)} + ρ_t λ̂_k，
      其中ρ_t为学习率（需满足Robbins-Monro条件，如ρ_t = (t + τ)^{-κ}，τ为延迟参数，κ∈(0.5,1]）。

5. 收敛与输出

  • 重复步骤2直至ELBO变化小于阈值或达到最大迭代次数。
  • 输出全局参数λ_k（用于计算主题-词语分布φ_k）和所有文档的局部参数γ_d（用于文档-主题分布θ_d）。

6. 关键点说明

  • 随机性优势：SVI通过单篇文档的局部统计量近似全局梯度，减少内存需求，适合流式数据。
  • 学习率设计：需保证ρ_t递减但满足∑ρ_t = ∞（充分探索）、∑ρ_t^2 < ∞（减少噪声），如ρ_t = t^{-0.7}。
  • 与批量VI区别：批量VI需遍历全数据集计算充分统计量，而SVI每步仅需少量数据，收敛更快但波动较大。

通过以上步骤，SVI实现了对LDA后验分布的高效近似估计，适用于大规模文本主题分析。

隐式狄利克雷分布（LDA）的随机变分推断（SVI）算法原理与参数估计过程 1. 问题描述 隐式狄利克雷分布（Latent Dirichlet Allocation, LDA）是一种主题模型，用于从文本集合中自动发现潜在主题。给定文档集合，LDA假设每篇文档是多个主题的混合，每个主题是词语的概率分布。模型参数包括文档-主题分布（θ）和主题-词语分布（φ），两者分别服从狄利克雷先验。传统变分推断（VI）需遍历整个数据集计算后验分布，计算成本高。随机变分推断（Stochastic Variational Inference, SVI）通过随机梯度下降，仅用少量数据（如单篇文档）迭代更新参数，适用于大规模数据。 2. 关键概念与模型设定 生成过程 ： 对每个主题k，从狄利克雷分布采样φ_ k ~ Dir(β)（主题-词语分布）。 对每篇文档d： 采样主题分布θ_ d ~ Dir(α)（文档-主题分布）。 对文档中每个词位置n： 采样主题z_ {d,n} ~ Multinomial(θ_ d)。 采样词语w_ {d,n} ~ Multinomial(φ_ {z_ {d,n}})。 目标 ：估计后验分布p(θ, φ, z | w, α, β)，由于后验难直接计算，采用变分推断近似。 3. 变分分布与证据下界（ELBO） 变分分布 ：假设后验可分解为 q(θ, φ, z) = ∏ d q(θ_ d | γ_ d) ∏ k q(φ_ k | λ_ k) ∏ {d,n} q(z {d,n} | ϕ_ {d,n})， 其中γ_ d为文档d的主题分布参数，λ_ k为主题k的词语分布参数，ϕ_ {d,n}为词n的主题分配参数。 ELBO最大化 ：通过优化变分参数{γ, λ, ϕ}使ELBO接近真实对数似然。ELBO表达式为： ELBO = E_ q[ log p(w, θ, φ, z)] - E_ q[ log q(θ, φ, z) ]。 4. 随机变分推断（SVI）步骤 SVI将全局参数（λ_ k，主题-词语分布）和局部参数（γ_ d, ϕ_ {d,n}，文档相关）分离，通过随机采样文档子集更新全局参数： 步骤1：初始化全局参数λ_ k 对每个主题k，随机初始化λ_ k（如全1向量）。 步骤2：迭代更新 对每次迭代t： 随机采样文档 ：从数据集中均匀采样一篇文档d（或一小批文档）。 局部变分推断 （固定全局参数λ）： 计算当前文档的局部变分参数γ_ d和ϕ_ {d,n}： 初始化γ_ d = α + D/N（D为文档长度，N为词数）。 迭代更新ϕ_ {d,n}和γ_ d直至收敛： 对每个词n：ϕ_ {d,n,k} ∝ exp(E_ q[ log θ_ {d,k}] + E_ q[ log φ_ {k,w_ {d,n}} ])， 其中E_ q[ log θ_ {d,k}] = Ψ(γ_ {d,k}) - Ψ(∑ j γ {d,j})（Ψ为Digamma函数）， E_ q[ log φ_ {k,v}] = Ψ(λ_ {k,v}) - Ψ(∑ v λ {k,v}）。 更新γ_ d = α + ∑ n ϕ {d,n}。 全局参数更新 （自然梯度下降）： 计算主题k的局部充分统计量：λ̂_ k = η + D_ d ∑ n ϕ {d,n,k} · one-hot(w_ {d,n})， 其中η是狄利克雷先验参数（如β），D_ d为文档d的词数。 更新全局参数：λ_ k^{(t)} = (1 - ρ_ t) λ_ k^{(t-1)} + ρ_ t λ̂_ k， 其中ρ_ t为学习率（需满足Robbins-Monro条件，如ρ_ t = (t + τ)^{-κ}，τ为延迟参数，κ∈(0.5,1 ]）。 5. 收敛与输出 重复步骤2直至ELBO变化小于阈值或达到最大迭代次数。 输出全局参数λ_ k（用于计算主题-词语分布φ_ k）和所有文档的局部参数γ_ d（用于文档-主题分布θ_ d）。 6. 关键点说明 随机性优势 ：SVI通过单篇文档的局部统计量近似全局梯度，减少内存需求，适合流式数据。 学习率设计 ：需保证ρ_ t递减但满足∑ρ_ t = ∞（充分探索）、∑ρ_ t^2 < ∞（减少噪声），如ρ_ t = t^{-0.7}。 与批量VI区别 ：批量VI需遍历全数据集计算充分统计量，而SVI每步仅需少量数据，收敛更快但波动较大。 通过以上步骤，SVI实现了对LDA后验分布的高效近似估计，适用于大规模文本主题分析。