奇怪的打印机问题（最小打印次数问题）

我将为你详细讲解"奇怪的打印机"问题，这是一个经典的区间动态规划问题。

题目描述

有一个奇怪的打印机，它有以下特殊打印规则：

1. 每次打印时，打印机可以选择打印任意字符
2. 打印机每次可以在任意起始位置和结束位置打印同一字符
3. 新打印的字符会覆盖之前同一位置上的字符
4. 打印机每次只能打印连续的相同字符

给定一个字符串s，你的任务是找出打印机打印出该字符串所需的最少打印次数。

示例：

• 输入：s = "aaabbb"

• 输出：2

• 解释：首先打印"aaa"，然后打印"bbb"

• 输入：s = "aba"

• 输出：2

• 解释：首先打印"aaa"，然后在中间位置打印"b"覆盖掉第二个a

解题思路分析

这个问题可以用区间动态规划来解决。我们需要定义状态，找到状态转移方程，然后进行求解。

详细解题步骤

步骤1：定义状态

定义dp[i][j]表示打印字符串s从位置i到位置j的子串所需的最少打印次数。

步骤2：寻找基本情况和状态转移

基本情况：

• 当i = j时，只有一个字符，需要1次打印：dp[i][i] = 1

状态转移：
对于区间[i, j]，我们有两种情况：

1. 如果s[i] = s[j]

   • 我们可以在打印s[i]时一次性打印到位置j，这样打印s[j]时就不需要额外次数
   • 因此：dp[i][j] = dp[i][j-1]

2. 如果s[i] ≠ s[j]

   • 我们需要将区间[i, j]分割成两个子区间[i, k]和[k+1, j]
   • 遍历所有可能的分割点k (i ≤ k < j)
   • dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j])，对所有k取最小值

步骤3：算法实现

def strangePrinter(s):
    if not s:
        return 0
    
    n = len(s)
    # 创建dp表，初始化为最大值
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]
    
    # 基本情况：单个字符需要1次打印
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1
    
    # 按区间长度从小到大计算
    for length in range(2, n + 1):  # 区间长度从2到n
        for i in range(n - length + 1):
            j = i + length - 1  # 区间结束位置
            
            # 情况1：首尾字符相同
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i][j - 1]
            else:
                # 情况2：首尾字符不同，遍历所有分割点
                for k in range(i, j):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j])
    
    return dp[0][n - 1]

步骤4：示例分析

以s = "aba"为例：

1. 初始化dp表：

   dp[0][0] = 1, dp[1][1] = 1, dp[2][2] = 1
   其他位置为无穷大
   

2. 计算长度为2的区间：

   • [0,1]: s[0]='a' ≠ s[1]='b'
     dp[0][1] = min(dp[0][0] + dp[1][1]) = 1 + 1 = 2
   • [1,2]: s[1]='b' ≠ s[2]='a'
     dp[1][2] = min(dp[1][1] + dp[2][2]) = 1 + 1 = 2

3. 计算长度为3的区间[0,2]：

   • s[0]='a' ≠ s[2]='a'，但首尾相同！
   • 根据规则：dp[0][2] = dp[0][1] = 2

4. 最终结果：dp[0][2] = 2

步骤5：优化思路

上述算法的时间复杂度是O(n³)，我们可以进行优化：

1. 预处理优化：如果字符串中有连续相同的字符，可以压缩成一个字符
2. 记忆化搜索：使用递归+记忆化的方式实现
3. 状态定义优化：重新定义状态转移方程

优化后的代码：

def strangePrinter(s):
    if not s:
        return 0
    
    # 预处理：合并连续相同字符
    compressed = []
    for char in s:
        if not compressed or char != compressed[-1]:
            compressed.append(char)
    s = ''.join(compressed)
    
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    
    for i in range(n-1, -1, -1):
        dp[i][i] = 1
        for j in range(i+1, n):
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i][j-1]
            else:
                dp[i][j] = float('inf')
                for k in range(i, j):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j])
    
    return dp[0][n-1]

总结

这个问题的关键在于理解：

1. 当首尾字符相同时，可以节省一次打印操作
2. 当首尾字符不同时，需要找到最优的分割点
3. 区间动态规划按区间长度从小到大的顺序计算

通过这个例子，我们可以看到区间动态规划在解决这类"最优分割"问题上的强大能力。