非线性规划中的内点割平面法基础题

字数 1822 2025-11-09 06:24:27

非线性规划中的内点割平面法基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：
minimize \(f(x) = x_1^2 + x_2^2\)
subject to:
\(g_1(x) = x_1 + x_2 - 2 \geq 0\)
\(g_2(x) = x_1 - x_2 - 1 \geq 0\)
\(x_1, x_2 \geq 0\)

要求使用内点割平面法求解该问题，初始内点选为 \(x^{(0)} = (1.5, 0.5)\)，收敛阈值为 \(\epsilon = 0.01\)。

解题过程
内点割平面法结合了内点法的可行性和割平面法的迭代逼近思想。其核心是在每一步保持迭代点严格可行（内点），同时通过添加线性割平面（如梯度割或可行性割）逐步逼近最优解。

步骤1: 初始化

初始点 \(x^{(0)} = (1.5, 0.5)\) 需满足严格可行性检验：
\(g_1(x^{(0)}) = 1.5 + 0.5 - 2 = 0 \geq 0\)（临界可行，但通常要求严格>0，这里稍作放宽，实际中需选严格内点如 (1.6, 0.6)）。
\(g_2(x^{(0)}) = 1.5 - 0.5 - 1 = 0 \geq 0\)，\(x_1, x_2 > 0\)。
设定容忍误差 \(\epsilon = 0.01\)，迭代计数器 \(k = 0\)。

步骤2: 构建线性割平面
在当前点 \(x^{(k)}\)，对目标函数 \(f(x)\) 在约束边界附近线性化：

计算 \(f(x)\) 的梯度： \(\nabla f(x) = (2x_1, 2x_2)\)。
在 \(x^{(k)}\) 处线性逼近：
\(f(x) \approx f(x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T (x - x^{(k)})\)。
添加割平面约束：
\(f(x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T (x - x^{(k)}) \leq \gamma^{(k)}\)，
其中 \(\gamma^{(k)}\) 是当前目标上界，初始可取 \(\gamma^{(0)} = f(x^{(0)}) = 2.5\)。

步骤3: 求解线性规划子问题
构建线性规划（LP）子问题：
minimize \(\gamma\)
subject to:

原约束： \(x_1 + x_2 \geq 2\), \(x_1 - x_2 \geq 1\), \(x_1, x_2 \geq 0\)。
割平面约束： \(\nabla f(x^{(k)})^T x \leq \gamma - f(x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T x^{(k)}\)。
内点约束：通过添加松弛变量或控制步长确保解在可行域内部（如限制 \(x\) 在 \(x^{(k)}\) 的邻域内）。

第一次迭代（k=0）示例：

\(\nabla f(x^{(0)}) = (3, 1)\)，割平面： \(3x_1 + x_2 \leq \gamma - 2.5 + (3 \times 1.5 + 1 \times 0.5) = \gamma + 1\)。
求解 LP 得新点 \(x^{(1)}\) 和 \(\gamma^{(1)}\)，需确保 \(x^{(1)}\) 为内点（如通过中心路径或障碍函数）。

步骤4: 更新与收敛判断

比较 \(f(x^{(k+1)})\) 与 \(\gamma^{(k+1)}\)：若 \(|f(x^{(k+1)}) - \gamma^{(k+1)}| \leq \epsilon\)，则停止；否则更新 \(k = k+1\)。
在迭代中逐步收紧 \(\gamma^{(k)}\) 并保证迭代点始终位于可行域内部。

关键点：

内点性通过限制移动步长或使用障碍函数维护。
割平面确保每次迭代逼近全局下界。
实际实现需处理数值稳定性（如割平面可能导致空集）。

通过反复迭代，最终解将收敛至近似最优解 \(x^* \approx (1.5, 0.5)\)，对应 \(f(x^*) = 2.5\)。

非线性规划中的内点割平面法基础题题目描述考虑非线性规划问题： minimize \( f(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 \) subject to: \( g_ 1(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \geq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1 - x_ 2 - 1 \geq 0 \) \( x_ 1, x_ 2 \geq 0 \) 要求使用内点割平面法求解该问题，初始内点选为 \( x^{(0)} = (1.5, 0.5) \)，收敛阈值为 \( \epsilon = 0.01 \)。解题过程内点割平面法结合了内点法的可行性和割平面法的迭代逼近思想。其核心是在每一步保持迭代点严格可行（内点），同时通过添加线性割平面（如梯度割或可行性割）逐步逼近最优解。步骤1: 初始化初始点 \( x^{(0)} = (1.5, 0.5) \) 需满足严格可行性检验： \( g_ 1(x^{(0)}) = 1.5 + 0.5 - 2 = 0 \geq 0 \)（临界可行，但通常要求严格>0，这里稍作放宽，实际中需选严格内点如 (1.6, 0.6)）。 \( g_ 2(x^{(0)}) = 1.5 - 0.5 - 1 = 0 \geq 0 \)，\( x_ 1, x_ 2 > 0 \)。设定容忍误差 \( \epsilon = 0.01 \)，迭代计数器 \( k = 0 \)。步骤2: 构建线性割平面在当前点 \( x^{(k)} \)，对目标函数 \( f(x) \) 在约束边界附近线性化：计算 \( f(x) \) 的梯度： \( \nabla f(x) = (2x_ 1, 2x_ 2) \)。在 \( x^{(k)} \) 处线性逼近： \( f(x) \approx f(x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T (x - x^{(k)}) \)。添加割平面约束： \( f(x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T (x - x^{(k)}) \leq \gamma^{(k)} \)，其中 \( \gamma^{(k)} \) 是当前目标上界，初始可取 \( \gamma^{(0)} = f(x^{(0)}) = 2.5 \)。步骤3: 求解线性规划子问题构建线性规划（LP）子问题： minimize \( \gamma \) subject to: 原约束： \( x_ 1 + x_ 2 \geq 2 \), \( x_ 1 - x_ 2 \geq 1 \), \( x_ 1, x_ 2 \geq 0 \)。割平面约束： \( \nabla f(x^{(k)})^T x \leq \gamma - f(x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T x^{(k)} \)。内点约束：通过添加松弛变量或控制步长确保解在可行域内部（如限制 \( x \) 在 \( x^{(k)} \) 的邻域内）。第一次迭代（k=0）示例： \( \nabla f(x^{(0)}) = (3, 1) \)，割平面： \( 3x_ 1 + x_ 2 \leq \gamma - 2.5 + (3 \times 1.5 + 1 \times 0.5) = \gamma + 1 \)。求解 LP 得新点 \( x^{(1)} \) 和 \( \gamma^{(1)} \)，需确保 \( x^{(1)} \) 为内点（如通过中心路径或障碍函数）。步骤4: 更新与收敛判断比较 \( f(x^{(k+1)}) \) 与 \( \gamma^{(k+1)} \)：若 \( |f(x^{(k+1)}) - \gamma^{(k+1)}| \leq \epsilon \)，则停止；否则更新 \( k = k+1 \)。在迭代中逐步收紧 \( \gamma^{(k)} \) 并保证迭代点始终位于可行域内部。关键点：内点性通过限制移动步长或使用障碍函数维护。割平面确保每次迭代逼近全局下界。实际实现需处理数值稳定性（如割平面可能导致空集）。通过反复迭代，最终解将收敛至近似最优解 \( x^* \approx (1.5, 0.5) \)，对应 \( f(x^* ) = 2.5 \)。