龙贝格积分法在边界层问题积分中的应用

题目描述
考虑计算边界层问题中出现的积分，例如计算函数 \(f(x) = e^{-100(x-0.5)^2}\) 在区间 \([0,1]\) 上的积分 \(\int_0^1 f(x) \, dx\)。该函数在 \(x=0.5\) 附近有一个极窄的峰值（边界层），传统数值积分方法可能因峰值区域采样不足而导致精度不足。龙贝格积分法通过外推技术加速收敛，适合此类问题。

解题过程

1. 问题分析

   • 边界层问题中，被积函数在局部区域变化剧烈，峰值宽度远小于积分区间。
   • 若直接使用均匀网格（如梯形法则），需极细网格才能捕捉峰值，计算成本高。
   • 龙贝格积分法通过逐次加密网格并外推，能以较少计算量达到高精度。

2. 龙贝格积分法基础

   • 从复合梯形公式出发，记 \(R_{k,1}\) 为第 \(k\) 层细分（区间分为 \(2^k\) 段）的梯形近似值。
   • 递推关系：

\[ R_{k,1} = \frac{1}{2} R_{k-1,1} + h_k \sum_{i=1}^{2^{k-1}} f(a + (2i-1)h_k), \quad h_k = \frac{b-a}{2^k} \]

• 利用 Richardson 外推，构造高阶近似：

\[ R_{k,m} = \frac{4^{m-1} R_{k,m-1} - R_{k-1,m-1}}{4^{m-1} - 1}, \quad m \geq 2 \]

 其中 $R_{k,m}$ 精度为 $O(h^{2m})$。

3. 边界层问题的适配策略

   • 初始网格选择：从较细的初始网格（如 \(k=3\)，即 8 段）开始，避免因峰值未被采样而完全丢失信息。
   • 收敛判断：比较相邻外推结果的相对误差，例如 \(|R_{k,k} - R_{k-1,k-1}| < \epsilon\)，设定严格阈值（如 \(\epsilon=10^{-8}\)）以适应峰值的高精度需求。
   • 示例计算：
     对 \(f(x) = e^{-100(x-0.5)^2}\)，真值约 \(0.08862269\)。
     • \(k=1\)：梯形公式 \(R_{1,1} \approx 0.0000\)（未捕捉峰值）。
     • \(k=3\)：\(R_{3,1} \approx 0.0872\)，外推至 \(R_{3,3} \approx 0.08861\)，误差显著减小。
     • \(k=5\)：\(R_{5,5} \approx 0.08862269\)，误差降至 \(10^{-9}\) 量级。

4. 优势与注意事项

   • 外推技术有效利用粗网格信息，减少峰值区域所需直接计算次数。
   • 若峰值位置未知，可先通过粗网格扫描定位峰值区域，再局部加密。
   • 对于极窄峰值（如宽度 \(<10^{-3}\)），可结合自适应策略，在峰值附近局部提升外推阶数。

总结
龙贝格积分法通过外推加速收敛，特别适合边界层问题中窄峰函数的积分。关键在于初始网格需足够细以初步捕捉峰值，并通过外推快速逼近高精度结果。