对称矩阵特征值问题的QR算法 题目描述 给定一个n×n实对称矩阵A，计算它的所有特征值。要求使用QR算法，这是计算对称矩阵特征值最常用的数值方法之一。 解题过程 1. 问题理解 对称矩阵的特征值都是实数，且存在完整的正交特征向量系。QR算法通过迭代将矩阵收敛到对角形式（特征值矩阵），从而获得所有特征值。 2. 算法准备 首先需要对矩阵进行预处理，将其转化为更易于处理的形式： 通过Householder变换将对称矩阵A转化为对称三对角矩阵T 这一步的复杂度为O(n³)，但只需执行一次 三对角化后，矩阵的非零元素仅出现在主对角线及其相邻两侧 3. 基本QR迭代步骤 对三对角矩阵T进行迭代： 对当前矩阵T_ k进行QR分解：T_ k = Q_ kR_ k Q_ k是正交矩阵，R_ k是上三角矩阵 由于T_ k是三对角矩阵，QR分解的计算复杂度仅为O(n) 计算下一次迭代矩阵：T_ {k+1} = R_ kQ_ k 由于R_ kQ_ k = Q_ k^T T_ k Q_ k，T_ {k+1}与T_ k相似，保持特征值不变 矩阵保持三对角形式，便于后续计算 4. 位移策略加速收敛 为加速收敛，引入位移： 瑞利商位移：取位移σ = T_ k[ n,n ]（右下角元素） 对T_ k - σI进行QR分解：T_ k - σI = Q_ kR_ k 计算T_ {k+1} = R_ kQ_ k + σI 这样能加速右下角特征值的收敛 5. 收缩技巧 当某个非对角元素足够小时： 如果|T_ k[ i,i+1]| < ε(|T_ k[ i,i]| + |T_ k[ i+1,i+1 ]|) 可将矩阵分割为两个更小的三对角矩阵 分别对两个子矩阵应用QR算法 显著减少后续计算量 6. 收敛判断 迭代终止条件： 所有非对角元素的绝对值小于预设容差ε 通常取ε = 10^{-12}或更小 此时主对角线元素即为特征值的近似值 7. 算法特性 总体复杂度：O(n³)预处理 + O(n²)每次迭代 通常需要O(n)次迭代达到收敛 数值稳定性好，是LAPACK等数值库的标准方法 8. 实际实现考虑 使用隐式QR迭代避免显式形成Q_ k 采用Wilkinson位移提高收敛速度 处理重特征值时的特殊处理 数值精度和舍入误差控制 通过以上步骤，QR算法能够高效、稳定地计算出对称矩阵的所有特征值，是数值线性代数中最重要和实用的算法之一。