切棍子问题的进阶变种：多维切割成本问题

字数 2865 2025-11-09 04:58:40

切棍子问题的进阶变种：多维切割成本问题

题目描述
有一根长度为 n 的棍子，需要将它切割成若干段。切割点的位置记录在数组 cuts 中（包含 0 和 n，且 cuts 已排序）。每次切割的成本等于当前待切割木棍的长度。如果允许以任意顺序切割这些点，且每次切割后木棍会分成两段，求最小的总切割成本。

例如：
n = 7, cuts = [0, 3, 5, 7]（表示需要在位置 3 和 5 切割）
初始棍子长度 7，若先切 3（成本 7），得到 [0,3] 和 [3,7]；再切 5（成本 4，因为此时段长为 4），总成本 11。若先切 5（成本 7），再切 3（成本 3，因为段 [0,5] 中切 3），总成本 10。最小成本为 10。

解题思路

问题转化
- 将 cuts 扩展为包含 0 和 n 的排序数组，例如 [0, 3, 5, 7]。
- 问题转化为：在 cuts 的相邻点之间形成的区间上，按最优顺序切割，使总成本最小。
- 这等价于在区间序列上执行一系列合并操作（逆过程思考：从碎段合并成整根棍子，成本为合并段长度之和），但更直观的是正向切割：每次切割某一段时，成本为该段长度。
区间 DP 定义
- 设 dp[i][j] 表示处理 cuts 中第 i 个点到第 j 个点之间的段（即从 cuts[i] 到 cuts[j] 的棍子）所需的最小切割成本。
- 注意：i 和 j 是 cuts 数组的索引，且 i < j。
- 最终目标是 dp[0][m-1]，其中 m = len(cuts)。
状态转移
- 如果 j == i+1，说明区间内没有切割点，不需要切割，成本为 0。
- 否则，在 i 和 j 之间选择一个切割点 k（i < k < j），将区间 [i,j] 分成 [i,k] 和 [k,j]。
- 切割成本为当前段长度 cuts[j] - cuts[i]（因为切这一刀时，棍子长度就是 cuts[j] - cuts[i]）。
- 总成本 = 切割成本 + 左段成本 + 右段成本：
```
dp[i][j] = min{ dp[i][k] + dp[k][j] } + (cuts[j] - cuts[i])  
其中 k 从 i+1 到 j-1
```
计算顺序
- 按区间长度从小到大计算：先计算所有长度为 2 的区间（即相邻切割点），然后长度 3、4，直到整个区间。

详细步骤示例
n = 7, cuts = [0, 3, 5, 7]（m = 4）

初始化 dp 表（4x4），对角线及 i>=j 的部分为 0。
区间长度 L = 2（即间隔 1 个切割点）：
- [0,3]：i=0,j=1，中间无切割点，dp[0][1]=0
- [3,5]：i=1,j=2，dp[1][2]=0
- [5,7]：i=2,j=3，dp[2][3]=0
区间长度 L = 3（间隔 2 个切割点）：
- [0,5]：i=0,j=2，可能切 k=1（位置 3）
  dp[0][2] = min( dp[0][1] + dp[1][2] ) + (5-0) = 0+0+5 = 5
- [3,7]：i=1,j=3，切 k=2（位置 5）
  dp[1][3] = min( dp[1][2] + dp[2][3] ) + (7-3) = 0+0+4 = 4
区间长度 L = 4（整个棍子）：
- [0,7]：i=0,j=3，切 k=1 或 k=2
  - 切 k=1：成本 = dp[0][1] + dp[1][3] + 7 = 0+4+7 = 11
  - 切 k=2：成本 = dp[0][2] + dp[2][3] + 7 = 5+0+7 = 12
  - 最小值 = 11？等等，检查：切 k=1 表示先切 3？不对，应检查所有 k。
    实际上 k 是 cuts 索引，不是位置。正确计算：
    k=1（切点 3）：左 [0,3] 成本 0，右 [3,7] 成本 4，加当前段长 7 → 11
    k=2（切点 5）：左 [0,5] 成本 5，右 [5,7] 成本 0，加 7 → 12
    最小为 11？但之前例子中最小是 10，哪里错了？

发现错误：我们的 dp 定义是切割 cuts[i] 到 cuts[j] 之间的内部点，但初始段是 [0,7] 包含切割点 3 和 5。
实际上，正确做法是：

扩展 cuts = [0,3,5,7]
dp[i][j] 表示将 (cuts[i], cuts[j]) 这段木棍内部的所有切割点切完的最小成本。
转移：dp[i][j] = min( dp[i][k] + dp[k][j] ) + (cuts[j]-cuts[i])，其中 k 从 i+1 到 j-1。
最终答案 = dp[0][m-1]。

重算：
区间长度=2：
[0,3],[3,5],[5,7] 成本 0
区间长度=3：
[0,5]：切 k=1（3）：成本=dp[0][1]+dp[1][2]+(5-0)=0+0+5=5
[3,7]：切 k=2（5）：成本=dp[1][2]+dp[2][3]+(7-3)=0+0+4=4
区间长度=4：
[0,7]：

k=1：成本=dp[0][1]+dp[1][3]+7=0+4+7=11
k=2：成本=dp[0][2]+dp[2][3]+7=5+0+7=12
最小=11？但例子中最小是 10。

检查例子：
先切 5（成本 7），得到 [0,5] 和 [5,7]；再在 [0,5] 中切 3（成本 5），总成本 12？不对，切 3 时棍子长度是 5，成本 5，总 12？但例子说 10。
我意识到例子给的结果可能错了，或者理解有误。查标准解法：这是经典的“切棍子”问题，LeetCode 1547. Minimum Cost to Cut a Stick。
标准解法正是上述 DP，答案正确为 16？我们验算：
n=7, cuts=[3,5]（不含端点），扩展为 [0,3,5,7]
dp[0][3]：
k=1: dp[0][1]+dp[1][3]+7=0+4+7=11
k=2: dp[0][2]+dp[2][3]+7=5+0+7=12
min=11？但官方示例输出是 16？不对，我混淆了。

实际上例子 n=7, cuts=[1,3,4,5] 时答案 16。我们的例子 n=7, cuts=[3,5] 答案应是：
扩展 [0,3,5,7]
dp[0][2]=5（切 3）
dp[1][3]=4（切 5）
dp[0][3]=min(0+4+7=11, 5+0+7=12)=11
所以答案是 11，不是 10。原例子中的 10 是错的。

因此正确解法如上所述。

总结
本题是区间 DP 的经典应用，通过定义 dp[i][j] 为处理区间 (i,j) 的最小成本，按区间长度递增计算，最终得到最小总成本。

切棍子问题的进阶变种：多维切割成本问题题目描述有一根长度为 n 的棍子，需要将它切割成若干段。切割点的位置记录在数组 cuts 中（包含 0 和 n，且 cuts 已排序）。每次切割的成本等于当前待切割木棍的长度。如果允许以任意顺序切割这些点，且每次切割后木棍会分成两段，求最小的总切割成本。例如： n = 7, cuts = [ 0, 3, 5, 7 ]（表示需要在位置 3 和 5 切割）初始棍子长度 7，若先切 3（成本 7），得到 [ 0,3] 和 [ 3,7]；再切 5（成本 4，因为此时段长为 4），总成本 11。若先切 5（成本 7），再切 3（成本 3，因为段 [ 0,5 ] 中切 3），总成本 10。最小成本为 10。解题思路问题转化将 cuts 扩展为包含 0 和 n 的排序数组，例如 [ 0, 3, 5, 7 ]。问题转化为：在 cuts 的相邻点之间形成的区间上，按最优顺序切割，使总成本最小。这等价于在区间序列上执行一系列合并操作（逆过程思考：从碎段合并成整根棍子，成本为合并段长度之和），但更直观的是正向切割：每次切割某一段时，成本为该段长度。区间 DP 定义设 dp[i][j] 表示处理 cuts 中第 i 个点到第 j 个点之间的段（即从 cuts[ i] 到 cuts[ j ] 的棍子）所需的最小切割成本。注意：i 和 j 是 cuts 数组的索引，且 i < j。最终目标是 dp[0][m-1] ，其中 m = len(cuts)。状态转移如果 j == i+1，说明区间内没有切割点，不需要切割，成本为 0。否则，在 i 和 j 之间选择一个切割点 k（i < k < j），将区间 [ i,j] 分成 [ i,k] 和 [ k,j ]。切割成本为当前段长度 cuts[j] - cuts[i] （因为切这一刀时，棍子长度就是 cuts[ j] - cuts[ i ]）。总成本 = 切割成本 + 左段成本 + 右段成本：计算顺序按区间长度从小到大计算：先计算所有长度为 2 的区间（即相邻切割点），然后长度 3、4，直到整个区间。详细步骤示例 n = 7, cuts = [ 0, 3, 5, 7 ]（m = 4）初始化 dp 表（4x4），对角线及 i>=j 的部分为 0。区间长度 L = 2（即间隔 1 个切割点）： [ 0,3]：i=0,j=1，中间无切割点，dp[ 0][ 1 ]=0 [ 3,5]：i=1,j=2，dp[ 1][ 2 ]=0 [ 5,7]：i=2,j=3，dp[ 2][ 3 ]=0 区间长度 L = 3（间隔 2 个切割点）： [ 0,5 ]：i=0,j=2，可能切 k=1（位置 3） dp[ 0][ 2] = min( dp[ 0][ 1] + dp[ 1][ 2 ] ) + (5-0) = 0+0+5 = 5 [ 3,7 ]：i=1,j=3，切 k=2（位置 5） dp[ 1][ 3] = min( dp[ 1][ 2] + dp[ 2][ 3 ] ) + (7-3) = 0+0+4 = 4 区间长度 L = 4（整个棍子）： [ 0,7 ]：i=0,j=3，切 k=1 或 k=2 切 k=1：成本 = dp[ 0][ 1] + dp[ 1][ 3 ] + 7 = 0+4+7 = 11 切 k=2：成本 = dp[ 0][ 2] + dp[ 2][ 3 ] + 7 = 5+0+7 = 12 最小值 = 11？等等，检查：切 k=1 表示先切 3？不对，应检查所有 k。实际上 k 是 cuts 索引，不是位置。正确计算： k=1（切点 3）：左 [ 0,3] 成本 0，右 [ 3,7 ] 成本 4，加当前段长 7 → 11 k=2（切点 5）：左 [ 0,5] 成本 5，右 [ 5,7 ] 成本 0，加 7 → 12 最小为 11？但之前例子中最小是 10，哪里错了？发现错误：我们的 dp 定义是切割 cuts[ i] 到 cuts[ j] 之间的内部点，但初始段是 [ 0,7 ] 包含切割点 3 和 5。实际上，正确做法是：扩展 cuts = [ 0,3,5,7 ] dp[ i][ j] 表示将 (cuts[ i], cuts[ j ]) 这段木棍内部的所有切割点切完的最小成本。转移：dp[ i][ j] = min( dp[ i][ k] + dp[ k][ j] ) + (cuts[ j]-cuts[ i ])，其中 k 从 i+1 到 j-1。最终答案 = dp[ 0][ m-1 ]。重算：区间长度=2： [ 0,3],[ 3,5],[ 5,7 ] 成本 0 区间长度=3： [ 0,5]：切 k=1（3）：成本=dp[ 0][ 1]+dp[ 1][ 2 ]+(5-0)=0+0+5=5 [ 3,7]：切 k=2（5）：成本=dp[ 1][ 2]+dp[ 2][ 3 ]+(7-3)=0+0+4=4 区间长度=4： [ 0,7 ]： k=1：成本=dp[ 0][ 1]+dp[ 1][ 3 ]+7=0+4+7=11 k=2：成本=dp[ 0][ 2]+dp[ 2][ 3 ]+7=5+0+7=12 最小=11？但例子中最小是 10。检查例子：先切 5（成本 7），得到 [ 0,5] 和 [ 5,7]；再在 [ 0,5 ] 中切 3（成本 5），总成本 12？不对，切 3 时棍子长度是 5，成本 5，总 12？但例子说 10。我意识到例子给的结果可能错了，或者理解有误。查标准解法：这是经典的“切棍子”问题，LeetCode 1547. Minimum Cost to Cut a Stick。标准解法正是上述 DP，答案正确为 16？我们验算： n=7, cuts=[ 3,5]（不含端点），扩展为 [ 0,3,5,7 ] dp[ 0][ 3 ]： k=1: dp[ 0][ 1]+dp[ 1][ 3 ]+7=0+4+7=11 k=2: dp[ 0][ 2]+dp[ 2][ 3 ]+7=5+0+7=12 min=11？但官方示例输出是 16？不对，我混淆了。实际上例子 n=7, cuts=[ 1,3,4,5] 时答案 16。我们的例子 n=7, cuts=[ 3,5 ] 答案应是：扩展 [ 0,3,5,7 ] dp[ 0][ 2 ]=5（切 3） dp[ 1][ 3 ]=4（切 5） dp[ 0][ 3 ]=min(0+4+7=11, 5+0+7=12)=11 所以答案是 11，不是 10。原例子中的 10 是错的。因此正确解法如上所述。总结本题是区间 DP 的经典应用，通过定义 dp[ i][ j ] 为处理区间 (i,j) 的最小成本，按区间长度递增计算，最终得到最小总成本。