括号匹配的最大得分问题（带符号权重版本）

题目描述

给定一个由 '(' 和 ')' 组成的字符串 s，以及两个整数 a 和 b。字符串 s 中每个匹配的括号对 () 的得分为 a（如果 a 为正，则得分增加；如果 a 为负，则得分减少），而每个不匹配的括号（即无法与任何其他括号形成有效对的括号）的得分为 b（同样，b 的正负影响得分增减）。你的任务是计算字符串 s 的所有可能子序列中，括号匹配子序列能获得的最大得分。

一个括号匹配子序列是指一个子序列，其中每个开括号 '(' 都有一个对应的闭括号 ')' 与之正确匹配，并且整个子序列是有效的括号序列。

例如，对于 s = "()())", a = 1, b = -1：

• 子序列 "()" 是匹配的，得分为 a = 1。
• 子序列 "()()" 是匹配的，得分为 2*a = 2。
• 子序列 "(()))" 不是有效的匹配子序列。
• 最大得分子序列是 "()()"，得分为 2。

解题过程

1. 问题分析
   我们需要在字符串 s 中找到一个子序列（不一定连续），使得这个子序列是一个有效的括号序列，并且根据给定的权重 a 和 b，计算其得分（匹配括号对得分 a，不匹配括号得分 b）并最大化该得分。关键在于，一个有效的括号序列中，不应该存在不匹配的括号。因此，在一个有效的括号匹配子序列中，只有匹配的括号对会贡献得分 a，而不会有不匹配的括号（因为不匹配的括号不会出现在有效的子序列中）。然而，题目描述中提到了“每个不匹配的括号得分为b”，这似乎与有效子序列的定义矛盾。这里需要澄清：题目是在所有可能的子序列（包括无效的）中寻找匹配子序列的最大得分。在匹配子序列内部，没有不匹配的括号，所以 b 不直接影响匹配子序列的得分。但是，我们的决策（选择哪些括号进入子序列）会影响最终匹配子序列中匹配对的数量。我们可能为了获得更多的匹配对而包含更多的括号，但也可能因为某些括号难以匹配而选择不包含它们以避免无效序列。实际上，对于匹配子序列，其得分就是 a * (匹配对的数量)。我们的目标是最大化这个匹配对的数量（因为 a 是固定的，尽管可能是负数）。权重 b 在这个问题表述中似乎并不直接用于计算匹配子序列的得分，这可能与常见的“带得分的括号匹配”问题描述有出入。一个更常见的版本是：每个匹配的括号对得分为 a，每个未匹配的括号（在最终选择的子序列中，无论是否整体有效，只要它没配对）得分为 b，然后求所有子序列（不一定有效）的最大得分。但题目明确要求是“括号匹配子序列”。让我们重新审视题目描述：“计算字符串 s 的所有可能子序列中，括号匹配子序列能获得的最大得分。” 并且提到了匹配对得分 a 和不匹配括号得分 b。一个合理的解释是：题目本意可能是求所有子序列（包括无效的）的最大得分，其中得分由匹配对和不匹配的括号共同贡献。但问题描述中又强调了是“括号匹配子序列”。这存在歧义。

   为了提供一个有意义的、典型的区间DP解法，我们将问题解释为以下更常见且清晰的问题（这很可能也是题目的本意，描述可能存在笔误）：

   修正后的问题描述：给定一个由 '(' 和 ')' 组成的字符串 s，以及两个整数 a 和 b。对于 s 的任何一个子序列（不一定连续），其得分计算如下：子序列中每一个匹配的括号对 () 贡献得分 a，每一个不匹配的括号（即在这个子序列中，没有与之配对的括号）贡献得分 b。请计算所有可能子序列（不一定需要是有效的括号序列）能获得的最大得分。

   例如，s = "()())", a = 1, b = -1：

   • 子序列 "()" ：有1个匹配对，得分为 a = 1。没有不匹配括号。
   • 子序列 "()()" ：有2个匹配对，得分为 2*a = 2。
   • 子序列 "(( )" ：如果取索引0,1,2的字符 "(()"，则有1个匹配对（索引1和2的括号），索引0的 '(' 不匹配。得分 = a + b = 1 + (-1) = 0。
   • 子序列 "())" ：有1个匹配对（索引0和1的括号），索引2的 ')' 不匹配。得分 = a + b = 1 + (-1) = 0。
   • 最大得分子序列是 "()()"，得分为 2。

   这个修正后的问题是一个经典的区间DP问题。

2. 动态规划状态定义
   我们使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在子字符串 s[i:j+1]（即从索引 i 到索引 j 的闭区间）中，所有可能子序列能获得的最大得分。
   注意：这个子序列是从 s[i] 到 s[j] 这个区间内选择的，不要求连续。

3. 状态转移方程
   我们考虑区间 [i, j] 的最大得分 dp[i][j] 如何由更小的区间转移而来。

   • 情况1：不考虑字符 s[i]
     最大得分可能来自于完全不选择区间第一个字符 s[i] 的情况。那么得分就是区间 [i+1, j] 的最大得分：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i+1][j])

   • 情况2：考虑字符 s[i]
     如果我们决定选择字符 s[i]，那么它有两种可能：

     • 2a: s[i] 作为不匹配的括号
       如果我们让 s[i] 成为一个不匹配的括号，那么它的贡献是得分 b。然后，我们需要加上剩下的区间 [i+1, j] 中能获得的最大得分。所以这种情况下的得分是：b + dp[i+1][j]。因此：dp[i][j] = max(dp[i][j], b + dp[i+1][j])

     • 2b: s[i] 与区间内的另一个括号 s[k] 匹配
       如果 s[i] 是一个开括号 '('，我们可以在区间 [i+1, j] 中寻找一个闭括号 ')' 即 s[k]（其中 i < k <= j 且 s[k] == ')'），与之配对。
       当 s[i] 和 s[k] 匹配时，它们形成了一个匹配对，贡献得分 a。
       那么，整个区间 [i, j] 的得分可以分解为三部分：

       1. s[i] 和 s[k] 匹配对的得分：a。
       2. 区间 [i+1, k-1] 内部的子序列得分：dp[i+1][k-1]。注意这是区间 (i, k) 的内部。
       3. 区间 [k+1, j] 内部的子序列得分：dp[k+1][j]。
          所以，如果 s[i] 和 s[k] 匹配，总得分为：a + dp[i+1][k-1] + dp[k+1][j]。
          我们需要遍历所有可能的 k (i < k <= j 且 s[k] == ')')，找到能使总得分最大的那个 k。
          因此：dp[i][j] = max(dp[i][j], a + dp[i+1][k-1] + dp[k+1][j]) 对于所有满足条件的 k。

     同理，如果 s[i] 是一个闭括号 ‘)’，理论上它也可以与前面的开括号匹配，但我们的状态转移是从左到右考虑区间起点的。通常，我们只考虑开括号作为起点去寻找匹配的闭括号，因为如果 s[i] 是闭括号，它要么不匹配，要么应该由之前的一个开括号来“匹配”它，而不是它自己作为起点去找匹配。在我们的循环设计中，当 i 是闭括号时，情况2b（匹配）不会发生，它只能走情况1（不选）或情况2a（作为不匹配括号）。

   综合状态转移方程：

   初始化 dp[i][j] = 负无穷 (或一个很小的数，表示无效/极小值)
   For 区间长度 len from 1 to n:
       For 起点 i from 0 to n-len:
           j = i + len - 1
           // 情况1：不选s[i]
           dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i+1][j])
   
           // 情况2：选s[i]
           // 2a: s[i]作为不匹配括号
           dp[i][j] = max(dp[i][j], b + dp[i+1][j])
   
           // 2b: 如果s[i]是开括号'('，尝试与s[k]匹配
           if s[i] == '(':
               for k from i+1 to j:
                   if s[k] == ')':
                       // 确保内部区间有效，如果i+1 > k-1，则dp[i+1][k-1]为0（空区间得分0）
                       inner = 0
                       if i+1 <= k-1:
                           inner = dp[i+1][k-1]
                       outer = 0
                       if k+1 <= j:
                           outer = dp[k+1][j]
                       dp[i][j] = max(dp[i][j], a + inner + outer)
   

   注意：空区间的得分是0。

4. 初始化

   • 对于任意区间，如果区间长度为0（即 i > j），则得分为0。dp[i][i-1] = 0 (对于所有 i)。
   • 对于长度为1的区间 [i, i]，只有一个字符。这个字符无法形成匹配对，只能作为不匹配括号（如果被选择）或者不被选择。
     • 不选：得分为0（空序列得分0）。
     • 选：得分是 b（一个不匹配括号）。
       所以 dp[i][i] = max(0, b)。

5. 计算顺序
   我们需要按照区间长度从小到大的顺序来计算 dp 数组。因为计算长区间的 dp[i][j] 需要用到更短的区间（如 [i+1, j], [i+1, k-1], [k+1, j]）的结果。

6. 最终结果
   整个字符串 s 对应的最大得分就是 dp[0][n-1]，其中 n 是字符串 s 的长度。

7. 复杂度分析

   • 时间复杂度：O(n³)。需要遍历所有 O(n²) 个区间，对于每个区间，最坏情况下需要遍历 O(n) 个可能的 k 来进行匹配。
   • 空间复杂度：O(n²)，用于存储 dp 表。

总结
这个算法通过动态规划系统地计算了所有区间内子序列的最大得分。对于每个区间，它考虑了起点字符的不同命运（不选、作为不匹配括号、与区间内另一个括号匹配），从而逐步构建出整个问题的解。最终结果 dp[0][n-1] 给出了在整个字符串上能获得的最大得分。