非线性规划中的序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法基础题

字数 2277 2025-11-09 03:37:38

非线性规划中的序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：

\[\min f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 \]

满足约束：

\[g_1(x) = x_1^2 - x_2 \le 0, \quad g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \le 0 \]

初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，试用序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法求解该问题。要求详细展示迭代过程，包括代理模型的构建、信赖域调整、屏障参数更新等步骤。

解题过程

1. 算法框架概述
该混合算法结合以下组件：

代理模型：用二次模型近似目标函数和约束（例如拉格朗日函数），减少计算成本。
信赖域：限制每一步迭代的搜索范围，保证模型可靠性。
自适应屏障：将不等式约束转化为屏障项，通过参数调整逐步逼近可行边界。

2. 初始设置

初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，目标函数值 \(f(x^{(0)}) = 4\)。
约束违反度：\(g_1(x^{(0)}) = 0\)，\(g_2(x^{(0)}) = -2\)（满足约束）。
屏障参数 \(\mu = 0.1\)，信赖域半径 \(\Delta = 0.5\)。

3. 构建代理模型
在 \(x^{(0)}\) 处构建拉格朗日函数的二次近似：

\[L(x, \lambda) = f(x) + \lambda_1 g_1(x) + \lambda_2 g_2(x) \]

初始拉格朗日乘子 \(\lambda^{(0)} = (0, 0)\)。计算梯度：

\[\nabla f(x^{(0)}) = (-4, -2), \quad \nabla g_1(x^{(0)}) = (0, -1), \quad \nabla g_2(x^{(0)}) = (1, 1) \]

Hessian 矩阵用拟牛顿法（BFGS）初始化，设为 \(H^{(0)} = I\)（单位矩阵）。
代理模型为：

\[Q(p) = f(x^{(0)}) + \nabla L(x^{(0)})^T p + \frac{1}{2} p^T H^{(0)} p \]

其中 \(p = x - x^{(0)}\)，\(\nabla L(x^{(0)}) = \nabla f(x^{(0)}) = (-4, -2)\)。

4. 自适应屏障项处理约束
将不等式约束转化为屏障函数：

\[B(x) = f(x) - \mu \sum_{i=1}^2 \ln(-g_i(x)) \]

注意：\(g_2(x^{(0)}) < 0\) 满足屏障条件，但 \(g_1(x^{(0)}) = 0\) 导致屏障项未定义！因此需调整初始点至严格可行内点。
修正：取 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)，则 \(g_1 = -0.25 < 0\)，\(g_2 = -1 < 0\)，屏障函数可计算：

\[B(x^{(0)}) = 2.5 - 0.1[\ln(0.25) + \ln(1)] \approx 2.5 + 0.14 = 2.64 \]

5. 信赖域子问题求解
在 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\) 处求解：

\[\min_p Q(p) = 2.5 + (-3, -1)^T p + \frac{1}{2} p^T I p \quad \text{s.t.} \ \|p\| \le \Delta \]

梯度为 \(\nabla Q = (-3, -1)\)，最优步长 \(p^* = -\Delta \cdot \frac{\nabla Q}{\|\nabla Q\|} \approx (-0.46, -0.15)\)。
新点 \(x^{(1)} = x^{(0)} + p^* \approx (0.04, 0.35)\)。

6. 接受性检验与信赖域调整
计算实际下降量：

\[\text{Actual Reduction} = B(x^{(0)}) - B(x^{(1)}) \]

预测下降量：

\[\text{Predicted Reduction} = Q(0) - Q(p^*) \]

比值 \(\rho = \frac{\text{Actual Reduction}}{\text{Predicted Reduction}}\)。
若 \(\rho > 0.75\)，扩大信赖域（\(\Delta \leftarrow 2\Delta\)）；若 \(\rho < 0.25\)，缩小信赖域（\(\Delta \leftarrow \Delta/2\)）。

7. 屏障参数自适应更新
每迭代一次，按 \(\mu \leftarrow \mu / 2\) 更新，使屏障项逐渐减弱，逼近原始约束。

8. 迭代收敛
重复步骤 3–7，直至 \(\|p\| < 10^{-3}\) 且约束违反度小于容差。最终解趋近于理论最优解 \(x^* = (1, 1)\)（满足 \(g_1(x^*) = 0\) 且 \(g_2(x^*) = 0\)）。

关键点总结

代理模型降低计算复杂度，信赖域保证稳定性。
自适应屏障处理不等式约束，初始点需严格可行。
参数（\(\mu, \Delta\)）动态调整平衡收敛速度与精度。

非线性规划中的序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法基础题题目描述考虑非线性规划问题： \[ \min f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \] 满足约束： \[ g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \le 0, \quad g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \le 0 \] 初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，试用序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法求解该问题。要求详细展示迭代过程，包括代理模型的构建、信赖域调整、屏障参数更新等步骤。解题过程 1. 算法框架概述该混合算法结合以下组件：代理模型：用二次模型近似目标函数和约束（例如拉格朗日函数），减少计算成本。信赖域：限制每一步迭代的搜索范围，保证模型可靠性。自适应屏障：将不等式约束转化为屏障项，通过参数调整逐步逼近可行边界。 2. 初始设置初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，目标函数值 \(f(x^{(0)}) = 4\)。约束违反度：\(g_ 1(x^{(0)}) = 0\)，\(g_ 2(x^{(0)}) = -2\)（满足约束）。屏障参数 \(\mu = 0.1\)，信赖域半径 \(\Delta = 0.5\)。 3. 构建代理模型在 \(x^{(0)}\) 处构建拉格朗日函数的二次近似： \[ L(x, \lambda) = f(x) + \lambda_ 1 g_ 1(x) + \lambda_ 2 g_ 2(x) \] 初始拉格朗日乘子 \(\lambda^{(0)} = (0, 0)\)。计算梯度： \[ \nabla f(x^{(0)}) = (-4, -2), \quad \nabla g_ 1(x^{(0)}) = (0, -1), \quad \nabla g_ 2(x^{(0)}) = (1, 1) \] Hessian 矩阵用拟牛顿法（BFGS）初始化，设为 \(H^{(0)} = I\)（单位矩阵）。代理模型为： \[ Q(p) = f(x^{(0)}) + \nabla L(x^{(0)})^T p + \frac{1}{2} p^T H^{(0)} p \] 其中 \(p = x - x^{(0)}\)，\(\nabla L(x^{(0)}) = \nabla f(x^{(0)}) = (-4, -2)\)。 4. 自适应屏障项处理约束将不等式约束转化为屏障函数： \[ B(x) = f(x) - \mu \sum_ {i=1}^2 \ln(-g_ i(x)) \] 注意：\(g_ 2(x^{(0)}) < 0\) 满足屏障条件，但 \(g_ 1(x^{(0)}) = 0\) 导致屏障项未定义！因此需调整初始点至严格可行内点。修正：取 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)，则 \(g_ 1 = -0.25 < 0\)，\(g_ 2 = -1 < 0\)，屏障函数可计算： \[ B(x^{(0)}) = 2.5 - 0.1[ \ln(0.25) + \ln(1) ] \approx 2.5 + 0.14 = 2.64 \] 5. 信赖域子问题求解在 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\) 处求解： \[ \min_ p Q(p) = 2.5 + (-3, -1)^T p + \frac{1}{2} p^T I p \quad \text{s.t.} \ \|p\| \le \Delta \] 梯度为 \(\nabla Q = (-3, -1)\)，最优步长 \(p^* = -\Delta \cdot \frac{\nabla Q}{\|\nabla Q\|} \approx (-0.46, -0.15)\)。新点 \(x^{(1)} = x^{(0)} + p^* \approx (0.04, 0.35)\)。 6. 接受性检验与信赖域调整计算实际下降量： \[ \text{Actual Reduction} = B(x^{(0)}) - B(x^{(1)}) \] 预测下降量： \[ \text{Predicted Reduction} = Q(0) - Q(p^* ) \] 比值 \(\rho = \frac{\text{Actual Reduction}}{\text{Predicted Reduction}}\)。若 \(\rho > 0.75\)，扩大信赖域（\(\Delta \leftarrow 2\Delta\)）；若 \(\rho < 0.25\)，缩小信赖域（\(\Delta \leftarrow \Delta/2\)）。 7. 屏障参数自适应更新每迭代一次，按 \(\mu \leftarrow \mu / 2\) 更新，使屏障项逐渐减弱，逼近原始约束。 8. 迭代收敛重复步骤 3–7，直至 \(\|p\| < 10^{-3}\) 且约束违反度小于容差。最终解趋近于理论最优解 \(x^* = (1, 1)\)（满足 \(g_ 1(x^ ) = 0\) 且 \(g_ 2(x^ ) = 0\)）。关键点总结代理模型降低计算复杂度，信赖域保证稳定性。自适应屏障处理不等式约束，初始点需严格可行。参数（\(\mu, \Delta\)）动态调整平衡收敛速度与精度。