马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）中的切片采样（Slice Sampling）算法原理与采样过程 题目描述 切片采样是一种用于从复杂概率分布中抽取样本的MCMC方法，特别适用于难以直接采样的多维或非标准分布。其核心思想是通过引入辅助变量（即“切片”），将采样问题转化为在均匀分布下的条件采样，从而避免直接处理目标分布。本题要求详细解释切片采样的原理、步骤及其收敛性。 解题过程 基本思想 目标：从目标分布 \( p(x) \) 中采样，其中 \( p(x) \) 可能未归一化（即已知 \( f(x) \propto p(x) \)）。 关键步骤： 引入辅助变量 \( u \)，构造联合分布 \( p(x, u) \)，使得边缘分布 \( p(x) \) 为目标分布。 通过吉布斯采样交替更新 \( u \) 和 \( x \)，其中 \( u \) 在给定 \( x \) 时服从均匀分布，\( x \) 在给定 \( u \) 时在特定区间内均匀采样。 单变量切片采样步骤 步骤1：初始化 选择初始样本 \( x_ 0 \)，设定迭代次数 \( T \)。 步骤2：生成辅助变量 \( u \) 在迭代 \( t \)，给定当前样本 \( x_ t \)，从均匀分布 \( U(0, f(x_ t)) \) 中采样 \( u \)，其中 \( f(x) \) 是目标分布的未归一化形式。这一步相当于在纵坐标方向“切片”。 步骤3：确定采样区间 找到一个区间 \( I = [ L, R ] \)，使得区间内所有 \( x \) 满足 \( f(x) \geq u \)。常用方法： 扩展法 ：从当前点 \( x_ t \) 向左/右扩展，直到 \( f(x) < u \)。例如，步长按指数增长以避免过慢扩展。 步骤4：从区间内均匀采样 从区间 \( I \) 中均匀采样得到 \( x_ {t+1} \)。若区间选择合理，则新样本服从 \( p(x) \)。 步骤5：迭代 重复步骤2-4直至收敛。 多维推广 对多维变量 \( \mathbf{x} = (x_ 1, \dots, x_ d) \)，可依次对每个维度进行切片采样（类似吉布斯采样）： 固定其他维度，对 \( x_ i \) 应用单变量切片采样。 循环更新所有维度。 也可直接定义多维“切片”区间，但计算更复杂。 收敛性分析 切片采样生成的马尔可夫链满足细致平衡条件，从而收敛到目标分布 \( p(x) \)。 优点：无需设置步长参数（对比Metropolis-Hastings），适应性强；缺点：区间确定可能计算代价高。 示例说明 假设目标分布 \( p(x) \propto \exp(-x^2/2) \)（标准正态分布）： 给定当前 \( x_ t = 0.5 \)，计算 \( f(0.5) = \exp(-0.125) \approx 0.882 \)。 采样 \( u \sim U(0, 0.882) \)，得到 \( u = 0.3 \)。 解不等式 \( \exp(-x^2/2) \geq 0.3 \)，得区间 \( [ -1.55, 1.55 ] \)。 从该区间均匀采样得到 \( x_ {t+1} \)。 总结 切片采样通过辅助变量将采样转化为均匀分布问题，避免了目标分布的直接处理，特别适用于峰值复杂或相关性强的分布。其核心在于动态确定采样区间，保证样本的正确性与效率。