最优二叉搜索树问题（带成功和失败频率版本）

字数 2168 2025-11-08 23:48:32

最优二叉搜索树问题（带成功和失败频率版本）

题目描述
假设我们有一组有序的关键字序列（例如，二叉搜索树的节点值），以及每个关键字被搜索成功的概率（称为“成功频率”）。同时，我们还知道在关键字之间的间隔区间（即不在关键字集合中的值）被搜索失败的概率（称为“失败频率”）。目标是构建一棵二叉搜索树，使得所有搜索操作的期望代价最小。期望代价定义为每个节点（成功）和每个间隔（失败）的搜索概率乘以其在树中的深度（或访问代价）的总和。

输入

关键字集合：\(K = [k_1, k_2, ..., k_n]\)（按升序排列）
成功频率：\(P = [p_1, p_2, ..., p_n]\)，其中 \(p_i\) 是搜索关键字 \(k_i\) 的概率
失败频率：\(Q = [q_0, q_1, ..., q_n]\)，其中 \(q_i\) 是搜索值落在区间 \((-\infty, k_1), (k_1, k_2), ..., (k_n, \infty)\) 的概率

输出

最小的期望搜索代价

解题过程

步骤1：问题分析

二叉搜索树（BST）的性质：对于任意节点，左子树的所有关键字小于该节点，右子树的所有关键字大于该节点。
期望代价的计算包括：
- 成功搜索：关键字 \(k_i\) 的代价 = \(p_i \times (depth(k_i) + 1)\)
- 失败搜索：间隔区间 \((k_i, k_{i+1})\) 的代价 = \(q_i \times (depth(间隔对应的叶子节点))\)
目标是通过调整树的结构，最小化总期望代价。

步骤2：定义动态规划状态

设 \(dp[i][j]\) 表示由关键字 \(k_i, k_{i+1}, ..., k_j\) 构成的子树（包括失败间隔）的最小期望代价。
为了方便处理边界，我们扩展区间：对于 \(0 \leq i \leq j \leq n\)，若 \(i > j\) 则子树为空（仅包含失败间隔）。

步骤3：状态转移方程

考虑以关键字 \(k_r\)（其中 \(i \leq r \leq j\)）作为根节点：
- 左子树包含关键字 \(k_i, ..., k_{r-1}\) 和对应的失败间隔。
- 右子树包含关键字 \(k_{r+1}, ..., k_j\) 和对应的失败间隔。
当以 \(k_r\) 为根时，整个子树的概率总和增加（因为根节点深度为0，但所有节点的深度会因新根而+1）。
转移方程：

\[ dp[i][j] = \min_{r = i}^{j} \left( dp[i][r-1] + dp[r+1][j] + w(i, j) \right) \]

其中：

\(w(i, j) = \sum_{t=i}^{j} p_t + \sum_{t=i-1}^{j} q_t\) 是关键字 \(i\) 到 \(j\) 区间内所有成功和失败概率的总和。
\(dp[i][r-1]\) 是左子树的代价，\(dp[r+1][j]\) 是右子树的代价。
注意：当 \(i > j\) 时，\(dp[i][j] = 0\)（空树代价为0）。

步骤4：计算顺序与初始化

按区间长度 \(L = 0, 1, ..., n\) 从小到大计算：
- \(L = 0\)：区间只有一个失败间隔，即 \(dp[i][i-1] = q_{i-1}\)（实际计算中可初始化为0，因为代价已包含在 \(w(i,j)\) 中）。
- \(L \geq 1\)：遍历所有起点 \(i\)，计算 \(j = i + L - 1\)。
预处理前缀和数组以便快速计算 \(w(i, j)\)。

步骤5：示例演示
假设 \(n = 3\)，关键字概率 \(P = [0.1, 0.2, 0.3]\)，失败概率 \(Q = [0.05, 0.1, 0.15, 0.2]\)。

计算 \(w(i, j)\)：例如 \(w(1,3) = p1+p2+p3 + q0+q1+q2+q3 = 0.1+0.2+0.3+0.05+0.1+0.15+0.2 = 1.1\)。
填表 \(dp[i][j]\)：
- 基础情况：\(dp[1][0] = 0\), \(dp[2][1] = 0\), ...
- \(dp[1][1] = \min_{r=1} (dp[1][0] + dp[2][1] + w(1,1)) = 0 + 0 + (p1 + q0 + q1) = 0.1+0.05+0.1 = 0.25\)。
- 逐步计算更大区间，最终 \(dp[1][3]\) 即为答案。

步骤6：复杂度分析

时间复杂度：\(O(n^3)\)（三层循环：区间长度、起点、根位置）。
空间复杂度：\(O(n^2)\)（DP表）。

通过以上步骤，我们可以高效地找到构建最优二叉搜索树的方案，最小化搜索期望代价。

最优二叉搜索树问题（带成功和失败频率版本）题目描述假设我们有一组有序的关键字序列（例如，二叉搜索树的节点值），以及每个关键字被搜索成功的概率（称为“成功频率”）。同时，我们还知道在关键字之间的间隔区间（即不在关键字集合中的值）被搜索失败的概率（称为“失败频率”）。目标是构建一棵二叉搜索树，使得所有搜索操作的期望代价最小。期望代价定义为每个节点（成功）和每个间隔（失败）的搜索概率乘以其在树中的深度（或访问代价）的总和。输入关键字集合：\( K = [ k_ 1, k_ 2, ..., k_ n ] \)（按升序排列）成功频率：\( P = [ p_ 1, p_ 2, ..., p_ n] \)，其中 \( p_ i \) 是搜索关键字 \( k_ i \) 的概率失败频率：\( Q = [ q_ 0, q_ 1, ..., q_ n] \)，其中 \( q_ i \) 是搜索值落在区间 \( (-\infty, k_ 1), (k_ 1, k_ 2), ..., (k_ n, \infty) \) 的概率输出最小的期望搜索代价解题过程步骤1：问题分析二叉搜索树（BST）的性质：对于任意节点，左子树的所有关键字小于该节点，右子树的所有关键字大于该节点。期望代价的计算包括：成功搜索：关键字 \( k_ i \) 的代价 = \( p_ i \times (depth(k_ i) + 1) \) 失败搜索：间隔区间 \( (k_ i, k_ {i+1}) \) 的代价 = \( q_ i \times (depth(间隔对应的叶子节点)) \) 目标是通过调整树的结构，最小化总期望代价。步骤2：定义动态规划状态设 \( dp[ i][ j] \) 表示由关键字 \( k_ i, k_ {i+1}, ..., k_ j \) 构成的子树（包括失败间隔）的最小期望代价。为了方便处理边界，我们扩展区间：对于 \( 0 \leq i \leq j \leq n \)，若 \( i > j \) 则子树为空（仅包含失败间隔）。步骤3：状态转移方程考虑以关键字 \( k_ r \)（其中 \( i \leq r \leq j \)）作为根节点：左子树包含关键字 \( k_ i, ..., k_ {r-1} \) 和对应的失败间隔。右子树包含关键字 \( k_ {r+1}, ..., k_ j \) 和对应的失败间隔。当以 \( k_ r \) 为根时，整个子树的概率总和增加（因为根节点深度为0，但所有节点的深度会因新根而+1）。转移方程： \[ dp[ i][ j] = \min_ {r = i}^{j} \left( dp[ i][ r-1] + dp[ r+1][ j ] + w(i, j) \right) \] 其中： \( w(i, j) = \sum_ {t=i}^{j} p_ t + \sum_ {t=i-1}^{j} q_ t \) 是关键字 \( i \) 到 \( j \) 区间内所有成功和失败概率的总和。 \( dp[ i][ r-1] \) 是左子树的代价，\( dp[ r+1][ j ] \) 是右子树的代价。注意：当 \( i > j \) 时，\( dp[ i][ j ] = 0 \)（空树代价为0）。步骤4：计算顺序与初始化按区间长度 \( L = 0, 1, ..., n \) 从小到大计算： \( L = 0 \)：区间只有一个失败间隔，即 \( dp[ i][ i-1] = q_ {i-1} \)（实际计算中可初始化为0，因为代价已包含在 \( w(i,j) \) 中）。 \( L \geq 1 \)：遍历所有起点 \( i \)，计算 \( j = i + L - 1 \)。预处理前缀和数组以便快速计算 \( w(i, j) \)。步骤5：示例演示假设 \( n = 3 \)，关键字概率 \( P = [ 0.1, 0.2, 0.3] \)，失败概率 \( Q = [ 0.05, 0.1, 0.15, 0.2 ] \)。计算 \( w(i, j) \)：例如 \( w(1,3) = p1+p2+p3 + q0+q1+q2+q3 = 0.1+0.2+0.3+0.05+0.1+0.15+0.2 = 1.1 \)。填表 \( dp[ i][ j ] \)：基础情况：\( dp[ 1][ 0] = 0 \), \( dp[ 2][ 1 ] = 0 \), ... \( dp[ 1][ 1] = \min_ {r=1} (dp[ 1][ 0] + dp[ 2][ 1 ] + w(1,1)) = 0 + 0 + (p1 + q0 + q1) = 0.1+0.05+0.1 = 0.25 \)。逐步计算更大区间，最终 \( dp[ 1][ 3 ] \) 即为答案。步骤6：复杂度分析时间复杂度：\( O(n^3) \)（三层循环：区间长度、起点、根位置）。空间复杂度：\( O(n^2) \)（DP表）。通过以上步骤，我们可以高效地找到构建最优二叉搜索树的方案，最小化搜索期望代价。