哈希算法题目：设计一个基于多重哈希的布隆过滤器变种（支持计数和删除操作）

题目描述：
布隆过滤器是一种空间效率高的概率数据结构，用于判断元素是否在集合中，但传统布隆过滤器不支持删除操作。本题要求设计一个变种，通过多重哈希和计数机制，实现元素的插入、查询和删除功能，同时控制误判率。

解题步骤：

1. 理解传统布隆过滤器的限制

   • 传统布隆过滤器使用一个位数组和多个哈希函数。插入元素时，将多个哈希函数计算出的位置设为1；查询时，若所有位置均为1，则元素可能存在（可能有误判）。
   • 不支持删除：因为直接重置位可能影响其他元素（多个元素可能共享同一位）。

2. 引入计数机制

   • 将位数组替换为整数数组（每个位置存储计数器）。
   • 插入元素时：对元素应用k个哈希函数，得到k个索引，将对应位置的计数器加1。
   • 删除元素时：同样计算k个索引，将对应计数器减1（需确保元素已存在，否则可能产生负数）。
   • 查询元素时：检查k个索引的计数器是否均大于0。

3. 设计哈希函数

   • 选择k个独立的哈希函数（如MurmurHash、FNV等），确保均匀分布。
   • 示例：h1(x) = hash1(x) % m, h2(x) = hash2(x) % m, ...，其中m为数组长度。

4. 处理误判与计数器溢出

   • 误判率：即使计数器均大于0，元素也可能不存在（其他元素操作导致计数器叠加）。需通过调整数组大小m、哈希函数数量k控制误判率。
   • 公式：误判率约等于 (1 - e^(-kn/m))^k，其中n为元素数量。
   • 计数器溢出：设置计数器上限（如8位，最大值255），防止无限增长。

5. 实现步骤

   • 初始化：创建长度为m的整数数组，初始值为0。
   • 插入：计算k个哈希值，对应索引的计数器加1（需检查上限）。
   • 查询：若k个索引的计数器均大于0，返回"可能存在"；否则返回"一定不存在"。
   • 删除：先查询确认存在，再将k个索引的计数器减1。

6. 复杂度分析

   • 时间：插入、查询、删除均为O(k)，k为常数。
   • 空间：O(m)，m与预期元素数量n和误判率相关。

示例：
假设m=10, k=2，插入元素"apple"：

• 计算h1("apple")=2, h2("apple")=5，计数器[2]和[5]加1。
  删除时：相同索引减1。若插入"banana"后h1("banana")=2，则查询"apple"时索引2的计数器仍可能大于0（误判）。

总结：通过计数机制扩展布隆过滤器，支持安全删除，但需权衡空间、误判率和计数器溢出风险。