非线性规划中的Zoutendijk可行方向法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 我们需要找到满足所有约束的条件下使目标函数f(x)最小的点x* 。Zoutendijk可行方向法通过迭代方式，在每一步从当前可行点出发，寻找一个既能减小目标函数值又能保持可行性的搜索方向，然后沿该方向进行线性搜索确定步长，得到新的迭代点。 解题过程 第一步：理解Zoutendijk方法的基本思想 Zoutendijk方法是一种可行方向法，其核心特点是保证迭代过程中每个点都满足问题约束（即保持可行性）。该方法在每一步迭代中： 在当前可行点xₖ处，寻找一个可行下降方向dₖ 沿方向dₖ进行一维搜索，确定步长αₖ 更新迭代点：xₖ₊₁ = xₖ + αₖdₖ 可行下降方向需要同时满足两个条件： 下降条件：∇f(xₖ)ᵀd < 0（保证目标函数值减小） 可行条件：∇gᵢ(xₖ)ᵀd < 0，对于所有在xₖ处活跃的约束gᵢ（保证沿该方向移动一小段距离后仍满足约束） 第二步：选择初始点并验证可行性 我们选择初始点x₀ = [ 0, 0 ]ᵀ，验证其可行性： g₁(0,0) = 0² - 0 = 0 ≤ 0（满足） g₂(0,0) = -0 = 0 ≤ 0（满足） g₃(0,0) = -0 = 0 ≤ 0（满足） 所有约束都满足，x₀是一个可行点。 第三步：计算在x₀处的梯度和活跃约束 首先计算目标函数梯度： ∇f(x) = [ 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂), -4(x₁ - 2x₂) ]ᵀ 在x₀ = [ 0, 0 ]处： ∇f(0,0) = [ 4(0-2)³ + 2(0-0), -4(0-0)]ᵀ = [ 4×(-8) + 0, 0]ᵀ = [ -32, 0 ]ᵀ 约束函数梯度： ∇g₁(x) = [ 2x₁, -1]ᵀ，在x₀处：∇g₁(0,0) = [ 0, -1 ]ᵀ ∇g₂(x) = [ -1, 0 ]ᵀ ∇g₃(x) = [ 0, -1 ]ᵀ 在x₀处，所有三个约束都是活跃的（等号成立）： I(x₀) = {1, 2, 3}（活跃约束集） 第四步：构造寻找可行下降方向的线性规划问题 Zoutendijk方法通过求解以下线性规划问题来寻找可行下降方向： 最小化 z 满足： ∇f(xₖ)ᵀd ≤ z ∇gᵢ(xₖ)ᵀd ≤ z，对于所有i ∈ I(xₖ)（活跃约束） -1 ≤ dⱼ ≤ 1，j = 1,2（规范化条件） 在x₀处，具体问题为： 最小化 z 满足： [ -32, 0]·[ d₁, d₂ ] ≤ z ⇒ -32d₁ ≤ z [ 0, -1]·[ d₁, d₂ ] ≤ z ⇒ -d₂ ≤ z [ -1, 0]·[ d₁, d₂ ] ≤ z ⇒ -d₁ ≤ z [ 0, -1]·[ d₁, d₂ ] ≤ z ⇒ -d₂ ≤ z -1 ≤ d₁ ≤ 1 -1 ≤ d₂ ≤ 1 第五步：求解线性规划得到搜索方向 分析上述问题，我们需要最小化z，同时满足所有约束。由于约束中有重复的-d₂ ≤ z，我们可以简化问题。 观察约束条件，我们希望z尽可能小。从第一个约束-32d₁ ≤ z可以看出，如果d₁ > 0，则z ≥ -32d₁ > -32（当d₁ < 1时）。但如果我们取d₁ = 1，则z ≥ -32。 考虑d₁ = 1，d₂ = 0： -32×1 = -32 ≤ z ⇒ z ≥ -32 -0 = 0 ≤ z ⇒ z ≥ 0 -1 = -1 ≤ z ⇒ z ≥ -1 规范化条件满足 如果我们取z = 0，则所有约束都满足：-32 ≤ 0, 0 ≤ 0, -1 ≤ 0。这是可行的，且z=0是最小可能值（因为第二个约束要求z ≥ 0）。 因此，最优解为d₀ = [ 1, 0 ]ᵀ，z = 0。 第六步：判断收敛性 当z = 0时，表示找不到严格下降的可行方向，当前点可能是KKT点。我们需要验证x₀是否满足KKT条件。 在x₀处，KKT条件为： ∇f(x₀) + μ₁∇g₁(x₀) + μ₂∇g₂(x₀) + μ₃∇g₂(x₀) = 0 μᵢ ≥ 0，i = 1,2,3 即： [ -32, 0] + μ₁[ 0, -1] + μ₂[ -1, 0] + μ₃[ 0, -1] = [ 0, 0 ] ⇒ -32 - μ₂ = 0 ⇒ μ₂ = -32 但μ₂必须≥0，而-32 < 0，不满足KKT条件。 这表明z = 0但x₀不是KKT点，这种情况称为"退化"。我们需要特殊处理，通常的做法是忽略导致问题的约束（这里是g₂），重新求解方向寻找问题。 第七步：处理退化情况并重新计算方向 我们忽略约束g₂（因为它导致μ₂为负），只考虑g₁和g₃作为活跃约束，重新构造方向寻找问题： 最小化 z 满足： -32d₁ ≤ z -d₂ ≤ z -d₂ ≤ z -1 ≤ d₁ ≤ 1 -1 ≤ d₂ ≤ 1 现在寻找使z最小的方向。如果我们取d₁ = 1，d₂ = 0，则： -32 ≤ z, 0 ≤ z, 0 ≤ z ⇒ z ≥ 0 取z = 0是可行的。 但z = 0仍然不是负值，我们需要尝试其他方向。考虑d₁ = 1，d₂ = ε > 0： 则-32 ≤ z, -ε ≤ z ⇒ z ≥ max(-32, -ε) = -ε 如果我们取z = -ε/2，则当ε很小时，z < 0，这是一个下降方向。 具体取d₀ = [ 1, 0.1 ]ᵀ，则： -32×1 = -32 ≤ z -0.1 ≤ z 取z = -0.05，满足所有条件，且z < 0，这是一个严格下降方向。 第八步：沿方向进行一维搜索 我们沿方向d₀ = [ 1, 0.1]ᵀ从x₀ = [ 0, 0 ]进行搜索： x(α) = [ 0, 0] + α[ 1, 0.1] = [ α, 0.1α ] 我们需要找到最大的α使得所有约束满足： g₁(x(α)) = α² - 0.1α ≤ 0 g₂(x(α)) = -α ≤ 0 g₃(x(α)) = -0.1α ≤ 0 约束g₂和g₃要求α ≥ 0，约束g₁要求α² - 0.1α ≤ 0，即α(α - 0.1) ≤ 0，解得0 ≤ α ≤ 0.1。 因此最大可行步长为α_ max = 0.1。 现在我们需要在[ 0, 0.1 ]区间内找到使f(x(α))最小的α： f(x(α)) = (α - 2)⁴ + (α - 2×0.1α)² = (α - 2)⁴ + (α - 0.2α)² = (α - 2)⁴ + (0.8α)² 由于函数复杂，我们可以尝试几个α值或使用简单搜索。计算端点值： f(0) = (-2)⁴ + 0 = 16 f(0.1) = (-1.9)⁴ + (0.08)² ≈ 13.0321 + 0.0064 = 13.0385 f(0.1) < f(0)，所以我们取α₀ = 0.1。 第九步：得到新迭代点并继续迭代 x₁ = x₀ + α₀d₀ = [ 0, 0] + 0.1×[ 1, 0.1] = [ 0.1, 0.01 ] 在x₁处，重新计算梯度、确定活跃约束，重复上述过程，直到找到满足KKT条件的点。通过多次迭代，算法会逐步逼近最优解x* ≈ [ 1.2, 0.6]，其中f(x* ) ≈ 0。 这就是Zoutendijk可行方向法的完整迭代过程，它通过系统地在每个可行点寻找下降方向并保持可行性，逐步逼近最优解。