自适应高斯-克朗罗德积分法在带边界层函数积分中的局部加密策略 题目描述 考虑计算带边界层函数的定积分： \[ I = \int_ {0}^{1} f(x) \, dx, \quad f(x) = e^{-100x} \sin(10x). \] 该函数在 \(x=0\) 附近存在边界层（急剧变化区域），传统均匀采样方法（如复合梯形公式）需极细网格才能捕捉变化，计算成本高。自适应高斯-克朗罗德（Gauss-Kronrod）积分法通过局部加密策略动态调整节点分布，在边界层区域密集采样，平缓区域稀疏采样，以兼顾精度与效率。 解题过程 问题分析 边界层特征：函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处衰减极快（指数项 \(e^{-100x}\)），导致导数巨大，均匀划分需大量节点。 目标：在保证误差 \(\epsilon < 10^{-6}\) 的前提下，最小化函数计算次数。 自适应高斯-克朗罗德法的基本思想 核心：基于嵌套节点的高精度误差估计。在每个子区间上，同时计算： \(Q_ G\)：\(n\) 点高斯求积结果（精度 \(2n-1\)）； \(Q_ K\)：\(2n+1\) 点克朗罗德扩展结果（精度至少 \(3n+1\)）。 误差估计：\(E = |Q_ K - Q_ G|\)，若 \(E > \epsilon \cdot (\text{子区间长度})\)，则将该区间二分并递归计算。 局部加密策略的实现步骤 步骤 1：选择基础公式 常用组合：G7-K15（7点高斯公式 + 15点克朗罗德扩展），利用克朗罗德节点包含高斯节点的特性，复用函数值。 优势：克朗罗德结果 \(Q_ K\) 作为高精度参考，高斯结果 \(Q_ G\) 作为低精度比较。 步骤 2：初始区间划分 将 \([ 0,1]\) 作为初始区间，计算全局误差估计 \(E_ {\text{total}}\)。若 \(E_ {\text{total}} > \epsilon\)，则触发自适应划分。 步骤 3：递归局部加密 对每个子区间 \([ a,b ]\)： 计算 \(Q_ G\) 和 \(Q_ K\)，误差 \(E = |Q_ K - Q_ G|\)。 若 \(E \leq \epsilon \cdot (b-a)\)，接受 \(Q_ K\) 作为该区间积分值。 若 \(E > \epsilon \cdot (b-a)\)，将 \([ a,b ]\) 二分，对两个子区间递归执行上述过程。 边界层处理：在 \(x=0\) 附近，因 \(E\) 较大，算法自动多次二分，形成密集节点分布。 步骤 4：终止条件与结果汇总 当所有子区间满足误差要求时，将各区间 \(Q_ K\) 值累加，得最终积分 \(I \approx \sum Q_ K\)。 实例演示 以 \(f(x) = e^{-100x} \sin(10x)\) 在 \([ 0,0.1 ]\) 子区间为例： 第一轮计算：\(E\) 远大于阈值，区间被二分為 \([ 0,0.05]\) 和 \([ 0.05,0.1 ]\)。 递归检测：在 \([ 0,0.05]\) 中 \(E\) 仍超限，继续二分至 \([ 0,0.025 ]\) 等，直到边界层内节点密度显著高于平缓区域。 策略优势分析 效率：仅在高梯度区域加密，避免全局均匀细分的浪费。 可靠性：克朗罗德扩展提供高精度误差估计，避免虚假收敛。 适用性：适用于峰值、边界层等非光滑函数积分。 总结 自适应高斯-克朗罗德法通过动态局部加密，精准分配计算资源，特别适合处理边界层函数积分问题。其核心在于利用嵌套公式的误差估计指导递归划分，实现精度与效率的平衡。