自适应高斯-克朗罗德积分法在带峰值函数积分中的局部加密策略 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ a^b f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ a, b ]\) 内存在一个或多个尖锐的峰值（即函数在局部区域内变化剧烈，而其他区域相对平缓）。要求使用自适应高斯-克朗罗德积分法，通过局部加密策略精确捕获峰值区域的贡献，并控制整体计算误差。 解题过程 方法原理回顾 高斯-克朗罗德积分法是一种嵌套型求积公式：用 \( n \)-点高斯求积公式计算近似值 \( G_ n \)，同时用 \( 2n+1 \)-点克朗罗德公式计算更精确的近似值 \( K_ {2n+1} \)。两者差值 \( |K_ {2n+1} - G_ n| \) 可作为误差估计。 自适应策略：若子区间误差超过容忍值 \( \epsilon \)，则将该区间二分，递归应用相同方法。 峰值函数的挑战 峰值区域函数值变化剧烈，若均匀划分区间，需极细网格才能捕获峰值，计算成本高。 自适应方法需在峰值附近自动加密网格，平缓区域保持粗网格。 局部加密策略实现步骤 步骤 1：选择基础求积公式 常用配置：选取 \( n=7 \) 的高斯公式（7个节点）和 \( 2n+1=15 \) 的克朗罗德公式（15个节点）。克朗罗德节点包含全部高斯节点，可复用计算。 步骤 2：误差估计与区间划分 对当前区间 \([ a_ i, b_ i]\)，计算 \( K_ {15} \) 和 \( G_ 7 \) 的差值 \( E_ i = |K_ {15} - G_ 7| \)。 若 \( E_ i \leq \frac{\epsilon \cdot (b_ i - a_ i)}{b - a} \)（按区间长度分配误差容忍度），接受 \( K_ {15} \) 作为该区间积分值。 若 \( E_ i \) 超限，将区间二分：\( [ a_ i, m_ i] \) 和 \( [ m_ i, b_ i] \)（\( m_ i = \frac{a_ i + b_ i}{2} \)），递归处理两个子区间。 步骤 3：峰值检测与加密触发 峰值识别：若 \( E_ i \) 显著大于相邻区间的误差估计，表明该区间可能存在峰值。可通过比较 \( E_ i \) 与相邻区间误差的比值（如 >10）触发额外加密。 强制细分：即使 \( E_ i \) 未超限，若函数在区间内二阶导数的估计值（通过节点函数值差分近似）较大，则主动细分以预防漏峰。 收敛性与终止条件 递归深度设置上限（如 20 层），避免无限细分。 总积分值 \( I \) 为所有接受区间积分值的和，全局误差由剩余未接受区间的误差和估计，确保 \( \sum E_ {\text{未接受}} < \epsilon \)。 示例演示 考虑 \( f(x) = e^{-100(x-0.5)^2} \) 在 \([ 0,1 ]\) 的积分（峰值在 \( x=0.5 \)）： 初始区间 \([ 0,1]\) 的 \( E_ 0 \) 较大，触发二分。 子区间 \([ 0.25,0.75]\) 包含峰值，继续递归加密至误差达标；边缘区间（如 \([ 0,0.25 ]\)）因函数平缓快速收敛。 最终网格在峰值附近密集，边缘稀疏，高效平衡精度与计算量。 总结 自适应高斯-克朗罗德法通过误差驱动的局部加密，自动聚焦计算资源于峰值区域，避免全局均匀细分的高成本，是处理峰值函数积分的有效策略。