列生成算法在垃圾收集车辆路径问题中的应用示例

字数 2413 2025-11-08 20:56:04

列生成算法在垃圾收集车辆路径问题中的应用示例

题目描述
考虑一个垃圾收集车辆路径问题（Garbage Collection Vehicle Routing Problem, GCVRP）。某城市有多个垃圾收集点，每个点产生一定量的垃圾。多辆容量相同的垃圾收集车从车库出发，服务各收集点（收集垃圾）后返回车库。目标是设计车辆路径，使得总行驶距离最短，且满足：每辆车不超过容量限制；每个点只被一辆车服务一次；车辆从车库出发并返回。

该问题可建模为集合覆盖模型，但可能的路径组合太多（组合爆炸）。使用列生成算法，主问题选择最优路径组合，子问题（定价问题）生成有潜力的新路径（即检验数负的列）。

解题过程

1. 问题建模

设垃圾收集点集合为 \(N\)，车辆集合为 \(K\)（同质车辆，容量均为 \(Q\)）。
每个点 \(i\) 的垃圾量为 \(q_i\)。
车库编号为 0。
主问题（限制主问题，Restricted Master Problem, RMP）为线性松弛的集合覆盖模型：

\[ \min \sum_{r \in \Omega} c_r \theta_r \]

\[ \text{s.t. } \sum_{r \in \Omega} a_{ir} \theta_r = 1, \quad \forall i \in N \]

\[ \sum_{r \in \Omega} \theta_r \leq |K| \]

\[ \theta_r \geq 0, \quad \forall r \in \Omega \]

其中：

\(\Omega\) 是所有可行路径的集合（初始为部分路径的子集）；
\(c_r\) 是路径 \(r\) 的长度；
\(a_{ir} = 1\) 表示路径 \(r\) 服务点 \(i\)，否则为 0；
\(\theta_r\) 表示路径 \(r\) 的使用程度（线性松弛下可为分数）。

2. 列生成流程
列生成迭代求解：

步骤 1：求解当前 RMP（线性规划），得到对偶变量 \(\pi_i\)（对应每个点 \(i\) 的覆盖约束）和 \(\mu\)（对应车辆数约束，\(\mu \leq 0\)）。
步骤 2：子问题（定价问题）寻找检验数为负的路径，即求解：

\[ \min_{r \in \Omega} \left( c_r - \sum_{i \in N} a_{ir} \pi_i - \mu \right) \]

由于 \(\mu\) 是常数，目标等价于最小化 \(c_r - \sum_{i \in N} a_{ir} \pi_i\)。
子问题实为一个带容量约束的最短路径问题（Elementary Shortest Path Problem with Resource Constraints, ESPPRC），可通过动态规划（如标签算法）求解。

步骤 3：若找到检验数 \(\bar{c}_r = c_r - \sum_i a_{ir} \pi_i - \mu < 0\) 的路径 \(r\)，将其加入 RMP，返回步骤 1；否则当前解为原问题线性松弛的最优解。

3. 子问题的具体求解（标签算法）

状态定义：标签 \((i, S, q)\) 表示路径从车库 0 到点 \(i\)，已服务点集为 \(S\)，累计垃圾量为 \(q\)。为减少状态数，可使用支配规则：若两标签到同一点 \(i\)，且 \(S_1 \subseteq S_2\)、\(q_1 \leq q_2\)、成本更低，则标签 1 支配标签 2，可舍弃被支配标签。
扩展标签：从点 \(i\) 扩展至未访问点 \(j\)，若 \(q + q_j \leq Q\)，则生成新标签 \((j, S \cup \{j\}, q + q_j)\)，路径成本增加 \(d_{ij}\)（距离），并减去对偶值 \(\pi_j\)（因为目标中含 \(-\sum a_{ir} \pi_i\)）。
终止：扩展至车库 0 结束，得到完整路径。记录检验数最小的路径。

4. 获取整数解
列生成得到线性松弛最优解后，需整数化（因 \(\theta_r\) 应为 0 或 1）。常用方法：

将列生成得到的所有路径构造一个整数规划模型（集合覆盖模型），用分支定界法求解。
或直接对 RMP 进行分支定价（Branch-and-Price），在分支节点中继续列生成。

5. 实例演示（简化）
假设 4 个收集点 \(N = \{1,2,3,4\}\)，垃圾量 \(q = [2,1,3,2]\)，车辆容量 \(Q = 5\)，距离矩阵对称。初始 RMP 包含少量可行路径（如单点路径）。

迭代 1：求解 RMP，得对偶值 \(\pi_i\)。子问题中，计算路径检验数，发现路径 \(0 \to 1 \to 3 \to 0\)（垃圾量 5，成本 \(c_r = d_{01} + d_{13} + d_{30}\)），检验数 \(\bar{c}_r = c_r - (\pi_1 + \pi_3) - \mu\)。若为负，加入 RMP。
迭代 2：更新 RMP 求解，重复直至无负检验数路径。
最终得到线性松弛下分数解，再通过整数规划求解器得到整数解。

总结
列生成通过分解思想处理路径组合爆炸问题：主问题管理路径选择，子问题生成改进路径。关键点在于子问题的高效求解（如标签算法）和整数化处理。该方法适用于大规模垃圾收集路径优化，显著减少计算资源。

列生成算法在垃圾收集车辆路径问题中的应用示例题目描述考虑一个垃圾收集车辆路径问题（Garbage Collection Vehicle Routing Problem, GCVRP）。某城市有多个垃圾收集点，每个点产生一定量的垃圾。多辆容量相同的垃圾收集车从车库出发，服务各收集点（收集垃圾）后返回车库。目标是设计车辆路径，使得总行驶距离最短，且满足：每辆车不超过容量限制；每个点只被一辆车服务一次；车辆从车库出发并返回。该问题可建模为集合覆盖模型，但可能的路径组合太多（组合爆炸）。使用列生成算法，主问题选择最优路径组合，子问题（定价问题）生成有潜力的新路径（即检验数负的列）。解题过程 1. 问题建模设垃圾收集点集合为 \( N \)，车辆集合为 \( K \)（同质车辆，容量均为 \( Q \)）。每个点 \( i \) 的垃圾量为 \( q_ i \)。车库编号为 0。主问题（限制主问题，Restricted Master Problem, RMP）为线性松弛的集合覆盖模型： \[ \min \sum_ {r \in \Omega} c_ r \theta_ r \] \[ \text{s.t. } \sum_ {r \in \Omega} a_ {ir} \theta_ r = 1, \quad \forall i \in N \] \[ \sum_ {r \in \Omega} \theta_ r \leq |K| \] \[ \theta_ r \geq 0, \quad \forall r \in \Omega \] 其中： \( \Omega \) 是所有可行路径的集合（初始为部分路径的子集）； \( c_ r \) 是路径 \( r \) 的长度； \( a_ {ir} = 1 \) 表示路径 \( r \) 服务点 \( i \)，否则为 0； \( \theta_ r \) 表示路径 \( r \) 的使用程度（线性松弛下可为分数）。 2. 列生成流程列生成迭代求解：步骤 1 ：求解当前 RMP（线性规划），得到对偶变量 \( \pi_ i \)（对应每个点 \( i \) 的覆盖约束）和 \( \mu \)（对应车辆数约束，\( \mu \leq 0 \)）。步骤 2 ：子问题（定价问题）寻找检验数为负的路径，即求解： \[ \min_ {r \in \Omega} \left( c_ r - \sum_ {i \in N} a_ {ir} \pi_ i - \mu \right) \] 由于 \( \mu \) 是常数，目标等价于最小化 \( c_ r - \sum_ {i \in N} a_ {ir} \pi_ i \)。子问题实为一个带容量约束的最短路径问题（Elementary Shortest Path Problem with Resource Constraints, ESPPRC），可通过动态规划（如标签算法）求解。步骤 3 ：若找到检验数 \( \bar{c} r = c_ r - \sum_ i a {ir} \pi_ i - \mu < 0 \) 的路径 \( r \)，将其加入 RMP，返回步骤 1；否则当前解为原问题线性松弛的最优解。 3. 子问题的具体求解（标签算法）状态定义：标签 \( (i, S, q) \) 表示路径从车库 0 到点 \( i \)，已服务点集为 \( S \)，累计垃圾量为 \( q \)。为减少状态数，可使用支配规则：若两标签到同一点 \( i \)，且 \( S_ 1 \subseteq S_ 2 \)、\( q_ 1 \leq q_ 2 \)、成本更低，则标签 1 支配标签 2，可舍弃被支配标签。扩展标签：从点 \( i \) 扩展至未访问点 \( j \)，若 \( q + q_ j \leq Q \)，则生成新标签 \( (j, S \cup \{j\}, q + q_ j) \)，路径成本增加 \( d_ {ij} \)（距离），并减去对偶值 \( \pi_ j \)（因为目标中含 \( -\sum a_ {ir} \pi_ i \)）。终止：扩展至车库 0 结束，得到完整路径。记录检验数最小的路径。 4. 获取整数解列生成得到线性松弛最优解后，需整数化（因 \( \theta_ r \) 应为 0 或 1）。常用方法：将列生成得到的所有路径构造一个整数规划模型（集合覆盖模型），用分支定界法求解。或直接对 RMP 进行分支定价（Branch-and-Price），在分支节点中继续列生成。 5. 实例演示（简化）假设 4 个收集点 \( N = \{1,2,3,4\} \)，垃圾量 \( q = [ 2,1,3,2 ] \)，车辆容量 \( Q = 5 \)，距离矩阵对称。初始 RMP 包含少量可行路径（如单点路径）。迭代 1：求解 RMP，得对偶值 \( \pi_ i \)。子问题中，计算路径检验数，发现路径 \( 0 \to 1 \to 3 \to 0 \)（垃圾量 5，成本 \( c_ r = d_ {01} + d_ {13} + d_ {30} \)），检验数 \( \bar{c}_ r = c_ r - (\pi_ 1 + \pi_ 3) - \mu \)。若为负，加入 RMP。迭代 2：更新 RMP 求解，重复直至无负检验数路径。最终得到线性松弛下分数解，再通过整数规划求解器得到整数解。总结列生成通过分解思想处理路径组合爆炸问题：主问题管理路径选择，子问题生成改进路径。关键点在于子问题的高效求解（如标签算法）和整数化处理。该方法适用于大规模垃圾收集路径优化，显著减少计算资源。