自适应辛普森积分法在带峰值函数积分中的变量替换技巧

题目描述
计算定积分 \(I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} \, dx\)。该被积函数在区间端点 \(x=0\) 和 \(x=1\) 处存在峰值（趋于无穷大），直接使用数值积分方法（如自适应辛普森法）可能在端点附近因函数值过大而失效。要求通过变量替换技巧消除奇异性，再结合自适应辛普森积分法进行数值计算。

解题过程

1. 问题分析

   • 被积函数 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\) 在 \(x=0\) 和 \(x=1\) 处不可导（分母为零），峰值导致直接数值积分误差较大。
   • 目标：通过变量替换将原积分转换为光滑函数在有限区间上的积分，避免端点奇异性。

2. 变量替换选择

   • 常用技巧：令 \(x = \sin^2\theta\)，则 \(dx = 2\sin\theta\cos\theta \, d\theta\)。
   • 积分区间变换：当 \(x=0\) 时，\(\theta=0\)；当 \(x=1\) 时，\(\theta=\pi/2\)。
   • 被积函数化简：

\[ \sqrt{x(1-x)} = \sqrt{\sin^2\theta (1-\sin^2\theta)} = \sin\theta\cos\theta, \]

 因此  

\[ f(x)\,dx = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} \cdot 2\sin\theta\cos\theta \, d\theta = 2\,d\theta. \]

• 新积分形式：

\[ I = \int_{0}^{\pi/2} 2 \, d\theta = \pi. \]

• 此时被积函数为常数 \(2\)，奇异性完全消除。

3. 自适应辛普森积分法应用
   • 虽然解析解为 \(\pi \，但为演示数值方法，仍对变换后的积分 \( I = \int_{0}^{\pi/2} 2 \, d\theta\) 应用自适应辛普森法。
   • 步骤：
     a. 将区间 \([0, \pi/2]\) 等分为若干子区间。
     b. 对每个子区间应用辛普森公式：

\[ S(a,b) = \frac{b-a}{6} \left[ f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right]. \]

 c. 比较子区间的辛普森值 $ S(a,b) $ 与其左右半区间的辛普森值之和 $ S(a,m) + S(m,b) $ 的误差。若误差大于阈值，则递归细分区间。  

• 由于被积函数为常数，自适应辛普森法只需极少数区间即可达到机器精度。

4. 替换技巧的通用性

   • 对端点奇异性函数 \(\int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} \, dx\)，均可通过替换 \(x = a + (b-a)\sin^2\theta\) 消除奇异性。
   • 若峰值不在端点但靠近边界，可结合区间分割或复合积分法。

5. 数值验证

   • 直接对原积分应用自适应辛普森法可能因端点值过大而失败，而替换后积分值为常数，数值结果与解析解 \(\pi\) 一致，误差可忽略。

总结
通过变量替换将带峰值函数的积分转换为光滑积分，再利用自适应辛普森法高效计算。此方法适用于端点奇异性问题，显著提升数值稳定性和精度。