其中 $ \sigma $ 控制相似度衰减速度。  

谱聚类（Spectral Clustering）的图拉普拉斯矩阵视角与聚类过程 题目描述 谱聚类是一种基于图论的聚类算法，它将数据点视为图中的节点，通过数据点之间的相似性构建图结构，并利用图的拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的特征向量对数据进行降维，最后在低维空间中使用传统聚类算法（如K-means）完成聚类。核心问题是如何从相似性矩阵出发，通过图拉普拉斯矩阵的特征分解实现数据划分。 解题过程 构建相似性图 输入数据点集 \( X = \{x_ 1, x_ 2, ..., x_ n\} \)，计算两两之间的相似度（如高斯核函数）： \[ W_ {ij} = \exp\left(-\frac{\|x_ i - x_ j\|^2}{2\sigma^2}\right) \] 其中 \( \sigma \) 控制相似度衰减速度。 得到相似性矩阵 \( W \in \mathbb{R}^{n \times n} \)，表示图的邻接矩阵，\( W_ {ij} \) 为边权重。 计算图拉普拉斯矩阵 度矩阵 \( D \) 是对角矩阵，对角线元素 \( D_ {ii} = \sum_ {j=1}^n W_ {ij} \) 表示节点 \( i \) 的度。 非规范化图拉普拉斯矩阵定义为 \( L = D - W \)。 常用规范化拉普拉斯矩阵提升聚类稳定性，例如对称规范化形式： \[ L_ {\text{sym}} = D^{-1/2} L D^{-1/2} = I - D^{-1/2} W D^{-1/2} \] 特征分解与降维 对 \( L_ {\text{sym}} \) 进行特征分解，选取前 \( k \) 个最小特征值对应的特征向量 \( u_ 1, u_ 2, ..., u_ k \in \mathbb{R}^n \)。 将这些特征向量按列排列成矩阵 \( U \in \mathbb{R}^{n \times k} \)，每行代表原数据点在低维空间中的新表示。 低维空间聚类 对矩阵 \( U \) 的每一行（对应一个数据点的低维表示）应用K-means算法，将其划分为 \( k \) 个簇。 最终簇标签即为原数据的聚类结果。 关键点说明 图拉普拉斯矩阵的特征向量能捕捉图的连通性：最小特征值（0）对应的特征向量指示连通分量，后续特征向量对应更细粒度的划分。 规范化拉普拉斯矩阵能缓解度分布不均的问题，提升对噪声的鲁棒性。 谱聚类的本质是将复杂的原始数据空间聚类问题转化为简单的低维欧氏空间聚类问题。