此时 $ g'(t) = \frac{\varepsilon}{1-t} $，积分变为：  

 **注意**：此例中替换后被积函数恒为常数（理想情况），但一般函数需具体分析。  

自适应辛普森积分法在带边界层函数积分中的变量替换技巧 题目描述 考虑计算积分 \[ I = \int_ {0}^{1} f(x) \, dx, \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在积分区间 \([ 0, 1 ]\) 的端点附近存在边界层（即函数在端点处变化剧烈，例如 \( f(x) = e^{-x/\varepsilon} \) 或 \( f(x) = \sin(x/\varepsilon) \)，且 \( \varepsilon \ll 1 \)）。直接应用自适应辛普森积分法可能因边界层区域采样不足而导致精度不足。本题目要求通过变量替换技巧，将原积分变换为在新变量下函数变化平缓的积分，再结合自适应辛普森法进行高效计算。 解题过程 问题分析 边界层函数在端点附近梯度极大，自适应辛普森法可能在边界层内分配不足的节点，导致局部误差累积。 目标：通过变量替换 \( x = g(t) \) 将边界层的非均匀变化“拉伸”为均匀变化，使新被积函数 \( f(g(t)) g'(t) \) 在新区间上更平滑。 变量替换的构造 常用技巧：采用对数拉伸或指数拉伸。例如，对于 \( f(x) = e^{-x/\varepsilon} \) 在 \( x=0 \) 处的边界层，可设： \[ x = g(t) = -\varepsilon \ln(1 - t), \] 此时 \( g'(t) = \frac{\varepsilon}{1-t} \)，积分变为： \[ I = \int_ {0}^{1} f(g(t)) g'(t) \, dt = \varepsilon \int_ {0}^{1} \frac{e^{-\frac{-\varepsilon \ln(1-t)}{\varepsilon}}}{1-t} \, dt = \varepsilon \int_ {0}^{1} \frac{1-t}{1-t} \, dt = \varepsilon. \] 注意 ：此例中替换后被积函数恒为常数（理想情况），但一般函数需具体分析。 更通用的替换公式：若边界层在 \( x=a \) 处，可设 \( x = a + c \cdot \tanh^{-1}(t) \) 或 \( x = a + c \cdot \ln\left(\frac{t}{1-t}\right) \)，通过调节参数 \( c \) 控制拉伸强度。 自适应辛普森法的应用 步骤： a. 对替换后的积分 \( I = \int_ {0}^{1} f(g(t)) g'(t) \, dt \) 应用自适应辛普森法。 b. 在递归划分区间时，若子区间上的误差估计（如两半区间与整个区间的辛普森值之差）超过阈值，则继续细分。 c. 由于替换后函数更平滑，自适应算法会在原边界层对应区域自然分配更多节点。 误差控制 变量替换可能引入新的奇点（如 \( g'(t) \) 在端点发散），需确保替换后的积分收敛。 实际计算中，可将积分区间略微内缩（如 \( [ \delta, 1-\delta ] \)）以避免端点奇异性，再通过外推修正误差。 示例计算 设 \( f(x) = e^{-x/0.01} \)，积分区间 \( [ 0, 1 ] \)，\( \varepsilon=0.01 \)。 直接应用自适应辛普森法（容忍误差 \( 10^{-6} \)）可能需要大量递归划分。 采用替换 \( x = -0.01 \ln(1-t) \)，新被积函数简化为常数 \( 0.01 \)，积分结果直接为 \( 0.01 \)，无需递归计算。 关键点总结 变量替换将边界层的剧烈变化“均匀化”，提升自适应采样的效率。 替换函数需根据边界层特性选择，常用对数、双曲函数或自定义拉伸函数。 结合自适应辛普森法的误差控制，确保最终积分的精度。