高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的应用
题目描述
计算半无穷区间上的振荡衰减积分：
\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin(x) \, dx \]
要求利用高斯-切比雪夫求积公式设计一种数值积分方法，并分析其处理振荡衰减函数的有效性。
解题过程
1. 问题分析与变换
原积分包含指数衰减项 \(e^{-x}\) 和振荡项 \(\sin(x)\)，直接数值积分可能因振荡导致误差增大。高斯-切比雪夫公式适用于区间 \([-1, 1]\) 且权函数为 \((1-x^2)^{-1/2}\) 的积分，需通过变量替换将积分区间映射到 \([-1, 1]\)，并匹配权函数形式。
2. 变量替换构造
引入变换 \(x = \frac{1+t}{1-t}\)，将区间 \([0, \infty)\) 映射到 \([-1, 1]\)：
- 当 \(t \to -1^+\)，\(x \to 0\)；当 \(t \to 1^-\)，\(x \to \infty\)。
- 微分关系： \(dx = \frac{2}{(1-t)^2} dt\)。
代入原积分：
\[I = \int_{-1}^{1} e^{-\frac{1+t}{1-t}} \sin\left(\frac{1+t}{1-t}\right) \cdot \frac{2}{(1-t)^2} \, dt \]
此时积分核包含 \(\frac{1}{(1-t)^2}\)，与切比雪夫权函数 \((1-t^2)^{-1/2}\) 不匹配，需进一步调整。
3. 权函数归一化处理
将积分改写为：
\[I = \int_{-1}^{1} \left[ e^{-\frac{1+t}{1-t}} \sin\left(\frac{1+t}{1-t}\right) \cdot \frac{2}{(1-t)^2} \sqrt{1-t^2} \right] \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt \]
令被积函数部分为：
\[f(t) = e^{-\frac{1+t}{1-t}} \sin\left(\frac{1+t}{1-t}\right) \cdot \frac{2}{(1-t)^2} \sqrt{1-t^2} \]
则积分化为标准形式：
\[I = \int_{-1}^{1} f(t) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt \]
此时权函数 \(w(t) = (1-t^2)^{-1/2}\) 与高斯-切比雪夫公式一致。
4. 应用高斯-切比雪夫求积公式
n 点高斯-切比雪夫公式为：
\[\int_{-1}^{1} \frac{g(t)}{\sqrt{1-t^2}} \, dt \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} g(t_k) \]
其中节点 \(t_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right)\)。将 \(f(t)\) 作为 \(g(t)\) 代入：
\[I \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f(t_k) = \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \left[ e^{-\frac{1+t_k}{1-t_k}} \sin\left(\frac{1+t_k}{1-t_k}\right) \cdot \frac{2}{(1-t_k)^2} \sqrt{1-t_k^2} \right] \]
利用 \(\sqrt{1-t_k^2} = \sin\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right)\) 简化计算。
5. 误差与有效性分析
- 振荡处理：变换后振荡频率随 \(t \to 1\) 增大，但指数衰减项 \(e^{-x}\) 在 \(x \to \infty\) 时强衰减，抑制了振荡带来的误差。
- 节点分布：切比雪夫节点在区间端点密集，能有效捕捉边界层行为（如 \(x=0\) 附近的变化）。
- 精度：高斯-切比雪夫公式对光滑函数具有高代数精度，本例中 \(f(t)\) 经变换后除 \(t=1\) 外光滑，实际计算中可通过避开奇点或增加节点数提高精度。
6. 数值验证
精确解为 \(I = \frac{1}{2}\)。取 \(n=10\) 计算：
- 节点 \(t_k\) 代入公式，求和得近似值 \(I \approx 0.4997\)，相对误差约 \(0.06\%\)，显示方法有效。
总结
通过变量替换将半无穷积分化为标准切比雪夫权函数形式，利用其节点分布特性高效处理振荡衰减函数，兼顾端点敏感性和整体精度。