非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-梯度投影-混合整数规划-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题
字数 2155 2025-11-08 20:56:04

非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-梯度投影-混合整数规划-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：

\[\min f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 \]

满足约束：

\[g_1(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0, \quad g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0, \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0. \]

要求使用一种混合算法框架求解，该框架结合了序列二次规划（SQP）、积极集策略、乘子法、过滤器法、信赖域、自适应屏障函数、代理模型、梯度投影、混合整数处理、交替方向乘子法（ADMM）、逐步凸逼近、动态隧道法、填充函数、松弛变量和增广拉格朗日法。目标是通过协同机制平衡收敛速度和全局搜索能力。

解题过程

  1. 问题重构与松弛变量引入
    • 原问题含不等式约束 \(g_1(x) \leq 0\) 和 \(g_2(x) \leq 0\)，引入非负松弛变量 \(s_1, s_2 \geq 0\)，将不等式转为等式：

\[ g_1(x) + s_1 = 0, \quad g_2(x) + s_2 = 0. \]

- 目标函数扩展为 $f(x) + \mu (s_1^2 + s_2^2)$，其中 $\mu > 0$ 为惩罚参数，避免松弛变量过大。
  1. 增广拉格朗日函数构造
    • 定义增广拉格朗日函数（结合乘子法）：

\[ L_\rho(x, s, \lambda) = f(x) + \mu \sum s_i^2 + \sum \lambda_i (g_i(x) + s_i) + \frac{\rho}{2} \sum (g_i(x) + s_i)^2, \]

  其中 $\lambda_i$ 为拉格朗日乘子，$\rho$ 为惩罚参数。自适应更新 $\rho$ 以加速收敛。
  1. 序列二次规划（SQP）子问题生成
    • 在当前点 \(x_k\)，利用代理模型（如二次插值）近似 \(f(x)\) 和 \(g_i(x)\)，构建二次规划子问题：

\[ \min_d \nabla f(x_k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d \]

  满足线性化约束 $\nabla g_i(x_k)^T d + g_i(x_k) + s_i = 0$，其中 $B_k$ 由拟牛顿法（如BFGS）更新。

  1. 积极集策略与梯度投影

    • 识别积极约束（如 \(g_i(x) + s_i = 0\)），利用梯度投影法将搜索方向投影到可行域边界，确保迭代点可行性。

  2. 信赖域与过滤器法协同

    • 为子问题设定信赖域半径 \(\Delta_k\)，限制步长 \(d\) 的范数。同时，过滤器法存储非支配解（目标函数值 vs 约束违反度），避免目标函数与约束的权衡退化。

  3. 自适应屏障函数处理边界

    • 对变量边界 \(x \geq 0\)，使用对数屏障函数 \(-\log(x_i)\)，参数自适应调整以逼近最优解。

  4. 交替方向乘子法（ADMM）分解求解

    • 将问题按变量分组（如 \(x\) 和 \(s\)），交替更新：

\[ x^{k+1} = \arg\min_x L_\rho(x, s^k, \lambda^k), \quad s^{k+1} = \arg\min_s L_\rho(x^{k+1}, s, \lambda^k). \]

  乘子更新：$\lambda_i^{k+1} = \lambda_i^k + \rho (g_i(x^{k+1}) + s_i^{k+1})$.

  1. 逐步凸逼近与动态隧道法

    • 对非凸部分进行局部凸近似，确保子问题可解。动态隧道法在迭代中引入“隧道”区域，跳过局部极小点，增强全局搜索。

  2. 填充函数辅助全局优化

    • 若陷入局部最优，构造填充函数引导搜索逃离当前区域，重新探索可行域。

  3. 混合整数处理（如需要）

    • 若问题含整数变量，分支定界法嵌入框架，对整数空间进行枚举。

  4. 收敛判断

    • 检查KKT条件残差：\(\|\nabla_x L\| < \epsilon_1\)，约束违反度 \(<$ \)\epsilon_2\(，乘子变化量 $<$ \)\epsilon_3$。若满足，输出解；否则调整参数迭代。

示例迭代步骤

  • 初始点 \(x_0 = (0.5, 0.5)\)，松弛变量 \(s_0 = (0, 0)\)，乘子 \(\lambda_0 = (0, 0)\)，\(\rho = 1\)。
  • 步骤1：求解SQP子问题得方向 \(d\)，结合信赖域更新 \(x_1 = x_0 + d\)。
  • 步骤2：ADMM更新 \(s_1\) 和 \(\lambda_1\)，过滤器法比较解并存储。
  • 重复至收敛，最终解逼近最优值 \(x^* = (1, 1)\)，\(f(x^*) = 1\)。

此混合算法通过组件协同，兼顾局部精度与全局鲁棒性，适用于复杂约束问题。

非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-梯度投影-混合整数规划-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： \[ \min f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \] 满足约束： \[ g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0, \quad g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0, \quad x_ 1 \geq 0, \quad x_ 2 \geq 0. \] 要求使用一种混合算法框架求解，该框架结合了序列二次规划（SQP）、积极集策略、乘子法、过滤器法、信赖域、自适应屏障函数、代理模型、梯度投影、混合整数处理、交替方向乘子法（ADMM）、逐步凸逼近、动态隧道法、填充函数、松弛变量和增广拉格朗日法。目标是通过协同机制平衡收敛速度和全局搜索能力。 解题过程 问题重构与松弛变量引入 原问题含不等式约束 \(g_ 1(x) \leq 0\) 和 \(g_ 2(x) \leq 0\)，引入非负松弛变量 \(s_ 1, s_ 2 \geq 0\)，将不等式转为等式： \[ g_ 1(x) + s_ 1 = 0, \quad g_ 2(x) + s_ 2 = 0. \] 目标函数扩展为 \(f(x) + \mu (s_ 1^2 + s_ 2^2)\)，其中 \(\mu > 0\) 为惩罚参数，避免松弛变量过大。 增广拉格朗日函数构造 定义增广拉格朗日函数（结合乘子法）： \[ L_ \rho(x, s, \lambda) = f(x) + \mu \sum s_ i^2 + \sum \lambda_ i (g_ i(x) + s_ i) + \frac{\rho}{2} \sum (g_ i(x) + s_ i)^2, \] 其中 \(\lambda_ i\) 为拉格朗日乘子，\(\rho\) 为惩罚参数。自适应更新 \(\rho\) 以加速收敛。 序列二次规划（SQP）子问题生成 在当前点 \(x_ k\)，利用代理模型（如二次插值）近似 \(f(x)\) 和 \(g_ i(x)\)，构建二次规划子问题： \[ \min_ d \nabla f(x_ k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d \] 满足线性化约束 \(\nabla g_ i(x_ k)^T d + g_ i(x_ k) + s_ i = 0\)，其中 \(B_ k\) 由拟牛顿法（如BFGS）更新。 积极集策略与梯度投影 识别积极约束（如 \(g_ i(x) + s_ i = 0\)），利用梯度投影法将搜索方向投影到可行域边界，确保迭代点可行性。 信赖域与过滤器法协同 为子问题设定信赖域半径 \(\Delta_ k\)，限制步长 \(d\) 的范数。同时，过滤器法存储非支配解（目标函数值 vs 约束违反度），避免目标函数与约束的权衡退化。 自适应屏障函数处理边界 对变量边界 \(x \geq 0\)，使用对数屏障函数 \(-\log(x_ i)\)，参数自适应调整以逼近最优解。 交替方向乘子法（ADMM）分解求解 将问题按变量分组（如 \(x\) 和 \(s\)），交替更新： \[ x^{k+1} = \arg\min_ x L_ \rho(x, s^k, \lambda^k), \quad s^{k+1} = \arg\min_ s L_ \rho(x^{k+1}, s, \lambda^k). \] 乘子更新：\(\lambda_ i^{k+1} = \lambda_ i^k + \rho (g_ i(x^{k+1}) + s_ i^{k+1})\). 逐步凸逼近与动态隧道法 对非凸部分进行局部凸近似，确保子问题可解。动态隧道法在迭代中引入“隧道”区域，跳过局部极小点，增强全局搜索。 填充函数辅助全局优化 若陷入局部最优，构造填充函数引导搜索逃离当前区域，重新探索可行域。 混合整数处理（如需要） 若问题含整数变量，分支定界法嵌入框架，对整数空间进行枚举。 收敛判断 检查KKT条件残差：\(\|\nabla_ x L\| < \epsilon_ 1\)，约束违反度 \(<\) \(\epsilon_ 2\)，乘子变化量 \(<\) \(\epsilon_ 3\)。若满足，输出解；否则调整参数迭代。 示例迭代步骤 初始点 \(x_ 0 = (0.5, 0.5)\)，松弛变量 \(s_ 0 = (0, 0)\)，乘子 \(\lambda_ 0 = (0, 0)\)，\(\rho = 1\)。 步骤1：求解SQP子问题得方向 \(d\)，结合信赖域更新 \(x_ 1 = x_ 0 + d\)。 步骤2：ADMM更新 \(s_ 1\) 和 \(\lambda_ 1\)，过滤器法比较解并存储。 重复至收敛，最终解逼近最优值 \(x^* = (1, 1)\)，\(f(x^* ) = 1\)。 此混合算法通过组件协同，兼顾局部精度与全局鲁棒性，适用于复杂约束问题。