基于线性规划的图最小费用最大流问题求解示例
字数 2185 2025-11-08 20:56:05

基于线性规划的图最小费用最大流问题求解示例

题目描述
考虑一个带权有向图 \(G = (V, E)\)，其中每条边 \((i, j) \in E\) 有容量 \(u_{ij}\)（最大允许流量）和单位流量费用 \(c_{ij}\)。图中有一个源点 \(s\) 和一个汇点 \(t\)。最小费用最大流问题的目标是：在满足边容量约束和流量平衡约束的条件下，从 \(s\) 到 \(t\) 输送尽可能大的流量，同时使总费用最小。

线性规划建模

  1. 决策变量：设 \(x_{ij}\) 表示边 \((i, j)\) 上的流量。
  2. 目标函数：最小化总费用 \(\min \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} x_{ij}\)。
  3. 约束条件：
    • 容量约束：对每条边 \((i, j)\)，有 \(0 \leq x_{ij} \leq u_{ij}\)。
    • 流量平衡约束：对每个节点 \(i \in V\)，流入流量等于流出流量（源点 \(s\) 净流出流量为 \(F\)，汇点 \(t\) 净流入流量为 \(F\)，其他节点流量平衡）。
      • 若 \(i = s\)：\(\sum_{j: (s,j) \in E} x_{sj} - \sum_{j: (j,s) \in E} x_{js} = F\)；
      • 若 \(i = t\)：\(\sum_{j: (j,t) \in E} x_{jt} - \sum_{j: (t,j) \in E} x_{tj} = -F\)；
      • 若 \(i \neq s, t\)：\(\sum_{j: (i,j) \in E} x_{ij} - \sum_{j: (j,i) \in E} x_{ji} = 0\)。
    • 最大流量约束：\(F\) 需最大化，但在此线性规划中通常先固定 \(F\) 为最大流值（通过预计算或对偶处理），再优化费用。

解题步骤

  1. 确定最大流值 \(F_{\text{max}}\)：
    • 使用最大流算法（如Ford-Fulkerson算法）求出从 \(s\) 到 \(t\) 的最大流量 \(F_{\text{max}}\)。
  2. 构建线性规划模型：
    • 将 \(F\) 固定为 \(F_{\text{max}}\)，目标函数为最小化总费用，约束包括容量限制和流量平衡。
  3. 求解线性规划：
    • 使用单纯形法或内点法求解，得到各边流量 \(x_{ij}\)。
  4. 验证结果：
    • 检查流量是否满足容量约束和平衡条件，并计算总费用。

示例
设图有节点 \(V = \{s, a, b, t\}\)，边集 \(E = \{(s,a), (s,b), (a,b), (a,t), (b,t)\}\)，容量和费用如下：

  • \((s,a): u=5, c=2\); \((s,b): u=3, c=3\);
  • \((a,b): u=2, c=1\); \((a,t): u=4, c=5\); \((b,t): u=6, c=2\)。

步骤1：求最大流 \(F_{\text{max}}\)

  • 最大流路径：\(s \to a \to t\)（流4）、\(s \to b \to t\)（流3），总流 \(F_{\text{max}} = 7\)。

步骤2：建立线性规划

  • 变量：\(x_{sa}, x_{sb}, x_{ab}, x_{at}, x_{bt}\)。
  • 目标：\(\min 2x_{sa} + 3x_{sb} + x_{ab} + 5x_{at} + 2x_{bt}\)。
  • 约束：
    • 容量约束：\(0 \leq x_{sa} \leq 5\), \(0 \leq x_{sb} \leq 3\), \(0 \leq x_{ab} \leq 2\), \(0 \leq x_{at} \leq 4\), \(0 \leq x_{bt} \leq 6\)。
    • 流量平衡：
      • 节点 \(s\)：\(x_{sa} + x_{sb} = 7\)；
      • 节点 \(a\)：\(x_{sa} - x_{ab} - x_{at} = 0\)；
      • 节点 \(b\)：\(x_{sb} + x_{ab} - x_{bt} = 0\)；
      • 节点 \(t\)：\(x_{at} + x_{bt} = 7\)。

步骤3：求解

  • 通过单纯形法得到最优解：
    \(x_{sa} = 5, x_{sb} = 2, x_{ab} = 1, x_{at} = 4, x_{bt} = 3\)。
  • 总费用：\(2 \times 5 + 3 \times 2 + 1 \times 1 + 5 \times 4 + 2 \times 3 = 43\)。

步骤4：验证

  • 所有流量满足容量约束，节点流量平衡，总流量为7（最大流），费用最小。

总结
最小费用最大流问题通过线性规划将流量分配与费用优化结合，先确定最大流，再在流量约束下最小化费用，适用于网络资源分配等场景。

基于线性规划的图最小费用最大流问题求解示例 题目描述 考虑一个带权有向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( (i, j) \in E \) 有容量 \( u_ {ij} \)（最大允许流量）和单位流量费用 \( c_ {ij} \)。图中有一个源点 \( s \) 和一个汇点 \( t \)。最小费用最大流问题的目标是：在满足边容量约束和流量平衡约束的条件下，从 \( s \) 到 \( t \) 输送尽可能大的流量，同时使总费用最小。 线性规划建模 决策变量 ：设 \( x_ {ij} \) 表示边 \( (i, j) \) 上的流量。 目标函数 ：最小化总费用 \(\min \sum_ {(i,j) \in E} c_ {ij} x_ {ij}\)。 约束条件 ： 容量约束 ：对每条边 \( (i, j) \)，有 \( 0 \leq x_ {ij} \leq u_ {ij} \)。 流量平衡约束 ：对每个节点 \( i \in V \)，流入流量等于流出流量（源点 \( s \) 净流出流量为 \( F \)，汇点 \( t \) 净流入流量为 \( F \)，其他节点流量平衡）。 若 \( i = s \)：\(\sum_ {j: (s,j) \in E} x_ {sj} - \sum_ {j: (j,s) \in E} x_ {js} = F\)； 若 \( i = t \)：\(\sum_ {j: (j,t) \in E} x_ {jt} - \sum_ {j: (t,j) \in E} x_ {tj} = -F\)； 若 \( i \neq s, t \)：\(\sum_ {j: (i,j) \in E} x_ {ij} - \sum_ {j: (j,i) \in E} x_ {ji} = 0\)。 最大流量约束 ：\( F \) 需最大化，但在此线性规划中通常先固定 \( F \) 为最大流值（通过预计算或对偶处理），再优化费用。 解题步骤 确定最大流值 \( F_ {\text{max}} \) ： 使用最大流算法（如Ford-Fulkerson算法）求出从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流量 \( F_ {\text{max}} \)。 构建线性规划模型 ： 将 \( F \) 固定为 \( F_ {\text{max}} \)，目标函数为最小化总费用，约束包括容量限制和流量平衡。 求解线性规划 ： 使用单纯形法或内点法求解，得到各边流量 \( x_ {ij} \)。 验证结果 ： 检查流量是否满足容量约束和平衡条件，并计算总费用。 示例 设图有节点 \( V = \{s, a, b, t\} \)，边集 \( E = \{(s,a), (s,b), (a,b), (a,t), (b,t)\} \)，容量和费用如下： \( (s,a): u=5, c=2 \); \( (s,b): u=3, c=3 \); \( (a,b): u=2, c=1 \); \( (a,t): u=4, c=5 \); \( (b,t): u=6, c=2 \)。 步骤1：求最大流 \( F_ {\text{max}} \) 最大流路径：\( s \to a \to t \)（流4）、\( s \to b \to t \)（流3），总流 \( F_ {\text{max}} = 7 \)。 步骤2：建立线性规划 变量：\( x_ {sa}, x_ {sb}, x_ {ab}, x_ {at}, x_ {bt} \)。 目标：\(\min 2x_ {sa} + 3x_ {sb} + x_ {ab} + 5x_ {at} + 2x_ {bt}\)。 约束： 容量约束：\( 0 \leq x_ {sa} \leq 5 \), \( 0 \leq x_ {sb} \leq 3 \), \( 0 \leq x_ {ab} \leq 2 \), \( 0 \leq x_ {at} \leq 4 \), \( 0 \leq x_ {bt} \leq 6 \)。 流量平衡： 节点 \( s \)：\( x_ {sa} + x_ {sb} = 7 \)； 节点 \( a \)：\( x_ {sa} - x_ {ab} - x_ {at} = 0 \)； 节点 \( b \)：\( x_ {sb} + x_ {ab} - x_ {bt} = 0 \)； 节点 \( t \)：\( x_ {at} + x_ {bt} = 7 \)。 步骤3：求解 通过单纯形法得到最优解： \( x_ {sa} = 5, x_ {sb} = 2, x_ {ab} = 1, x_ {at} = 4, x_ {bt} = 3 \)。 总费用：\( 2 \times 5 + 3 \times 2 + 1 \times 1 + 5 \times 4 + 2 \times 3 = 43 \)。 步骤4：验证 所有流量满足容量约束，节点流量平衡，总流量为7（最大流），费用最小。 总结 最小费用最大流问题通过线性规划将流量分配与费用优化结合，先确定最大流，再在流量约束下最小化费用，适用于网络资源分配等场景。