高斯-勒让德求积公式在带振荡函数积分中的变量替换技巧
我将为你讲解如何利用变量替换技巧，结合高斯-勒让德求积公式来计算带有振荡特性的函数在有限区间上的积分。这类问题在物理和工程中十分常见，例如计算声波或电磁波的传播问题。
问题描述
考虑一个在有限区间[a, b]上定义的带振荡函数的积分：
\[ I = \int_{a}^{b} f(x) \sin(\omega x) \, dx \]
其中，\(f(x)\) 是一个光滑或变化缓慢的函数，而 \(\sin(\omega x)\) 是振荡部分，振荡频率 \(\omega\) 较大。当 \(\omega\) 很大时，被积函数在区间内快速振荡，导致直接应用数值积分公式（如高斯-勒让德求积公式）需要大量节点才能准确捕捉振荡行为，计算效率低下。
解题过程
第一步：理解直接应用高斯-勒让德求积公式的挑战
高斯-勒让德求积公式是一种在区间[-1, 1]上对光滑函数非常高效的高精度数值积分方法。其基本形式为：
\[ \int_{-1}^{1} g(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i g(x_i) \]
其中，\(x_i\) 是勒让德多项式的根（节点），\(w_i\) 是对应的权重。
对于一般区间[a, b]，可以通过线性变换：
\[ x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \]
将积分变换到[-1, 1]上：
\[ I = \int_{a}^{b} f(x) \sin(\omega x) \, dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^{1} f\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \right) \sin\left( \omega \left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \right) \right) \, dt \]
然而，当 \(\omega\) 很大时，被积函数 \(g(t) = f(...) \sin(...)\) 在[-1, 1]上仍然快速振荡。高斯-勒让德公式的精度依赖于被积函数的光滑性，但振荡会“破坏”这种光滑性，使得即使使用较多节点，误差也可能很大，或者收敛非常缓慢。
第二步：引入变量替换的基本思想
为了克服振荡带来的困难，我们的目标是设计一个变量替换 \(x = \phi(s)\)，使得在新的变量s下，振荡被“吸收”或“减缓”，新的被积函数（包括雅可比行列式）在s域内变化更为平缓。
一个经典的思路是利用振荡函数的相位信息。对于 \(\sin(\omega x)\)，我们设 \(s = \omega x\)。则 \(x = s / \omega\)，\(dx = ds / \omega\)。积分变为：
\[ I = \int_{a}^{b} f(x) \sin(\omega x) \, dx = \frac{1}{\omega} \int_{\omega a}^{\omega b} f\left( \frac{s}{\omega} \right) \sin(s) \, ds \]
这个替换的关键在于：
- 振荡部分 \(\sin(s)\) 的振荡频率现在被“标准化”为1。
- 原来函数的振荡快慢由 \(\omega\) 体现，现在这个信息被转移到了积分上限 \(\omega b\) 和下限 \(\omega a\) 中。新的积分区间长度是 \(\omega (b-a)\)，它可能非常长。
第三步：处理变换后的长区间积分
经过变量替换 \(s = \omega x\) 后，我们得到了一个在长区间 \([\omega a, \omega b]\) 上对函数 \(F(s) = f(s/\omega) \sin(s)\) 的积分。虽然 \(\sin(s)\) 的振荡频率是1，但区间长度与 \(\omega\) 成正比。
直接在这个长区间上应用高斯-勒让德公式仍然不高效，因为需要很多节点来覆盖整个区间。我们需要将长区间分割成若干个振荡周期（例如，以 \(2\pi\) 为周期）的子区间。
\[ I = \frac{1}{\omega} \sum_{k=0}^{N-1} \int_{\omega a + 2\pi k}^{\omega a + 2\pi (k+1)} f\left( \frac{s}{\omega} \right) \sin(s) \, ds + \frac{1}{\omega} \int_{\omega a + 2\pi N}^{\omega b} f\left( \frac{s}{\omega} \right) \sin(s) \, ds \]
其中 \(N = \lfloor \frac{\omega (b-a)}{2\pi} \rfloor\)。
第四步：在每个子区间上应用高斯-勒让德求积公式
现在，我们处理的是每个长度为 \(2\pi\) （除了最后一个可能短一些）的子区间上的积分。由于 \(f(x)\) 是变化缓慢的函数，在每个这样的子区间上，\(f(s/\omega)\) 可以近似为一个常数（或其低阶多项式近似）。而 \(\sin(s)\) 在一个周期上的积分是0。
更精确的做法是，对每个子区间 \([c, c+2\pi]\)（或最后的残差区间），应用高斯-勒让德求积公式：
- 将子区间 \([c, c+2\pi]\) 通过线性变换映射到标准区间[-1, 1]。
设 \(s = \pi (t + 1) + c\)，则 \(ds = \pi dt\)。
该子区间上的积分 \(I_k\) 变为：
\[ I_k = \int_{c}^{c+2\pi} f\left( \frac{s}{\omega} \right) \sin(s) \, ds = \pi \int_{-1}^{1} f\left( \frac{\pi (t + 1) + c}{\omega} \right) \sin(\pi (t + 1) + c) \, dt \]
- 对变换后的积分 \(\pi \int_{-1}^{1} G_k(t) \, dt\) 应用n点高斯-勒让德公式：
\[ I_k \approx \pi \sum_{i=1}^{n} w_i G_k(t_i) = \pi \sum_{i=1}^{n} w_i f\left( \frac{\pi (t_i + 1) + c}{\omega} \right) \sin(\pi (t_i + 1) + c) \]
第五步：分析技巧的优势与注意事项
- 优势：通过变量替换将振荡频率标准化，并结合区间分割，我们将一个在长区间上的剧烈振荡积分，转化为一系列在振荡周期上的相对平缓的积分。在每个周期上，由于被积函数变化相对缓慢，高斯-勒让德公式可以用较少的节点（例如，每个周期8-16个点）达到很高的精度。这比直接在原长区间上使用高斯-勒让德公式所需的节点数少得多，计算效率显著提高。
- 注意事项：
- 函数f(x)的变化：此技巧的有效性依赖于 \(f(x)\) 在几个振荡周期内变化不大。如果 \(f(x)\) 本身也有高频成分，此方法可能仍需较多节点。
- 端点处理：需要精确计算最后一个非完整周期的残差区间。
- 余弦振荡：如果振荡部分是 \(\cos(\omega x)\)，方法是完全类似的。
- 变频率振荡：对于更一般的振荡 \(\sin(\phi(x))\)（其中 \(\phi‘(x)\) 变化），可能需要更复杂的稳相法（Method of Stationary Phase）或Filon型求积公式，其思想也是通过变量替换考虑相位函数 \(\phi(x)\) 的特性。
总结
对于积分 \(\int_{a}^{b} f(x) \sin(\omega x) \, dx\)，当 \(\omega\) 较大时，通过变量替换 \(s = \omega x\) 将振荡频率标准化，然后将长区间按振荡周期分割，并在每个子区间上应用高斯-勒让德求积公式，可以有效地提高计算精度和效率。这种方法的核心是利用振荡的周期性，将问题分解为更容易处理的局部问题。