SM2椭圆曲线公钥密码算法中的签名验证过程 题目描述 SM2算法是中国国家密码管理局发布的椭圆曲线公钥密码算法标准，其签名验证过程用于验证数字签名的有效性。给定签名者的公钥\( P_ a \)、消息\( M \)和签名\( (r, s) \)，验证者需通过计算判断签名是否合法。签名验证的核心是检验方程是否成立，同时涉及椭圆曲线点乘、哈希计算和模运算。 解题过程 1. 输入参数与初始检查 输入 ： 公钥\( P_ a \)（椭圆曲线上的点，且\( P_ a \neq \infty \)）。 消息\( M \)（任意长度字节流）。 签名\( (r, s) \)，其中\( r, s \)为区间\( [ 1, n-1 ] \)内的整数（\( n \)为椭圆曲线阶数）。 初始检查 ： 若\( r \notin [ 1, n-1] \)或\( s \notin [ 1, n-1 ] \)，直接判定签名无效。 2. 计算哈希值\( e \) 使用SM3哈希算法计算消息\( M \)的哈希值，转换为整数： \[ e = \mathrm{SM3}(M) \mod n \] 若\( e=0 \)，则调整\( e=1 \)（SM2标准规定）。 3. 计算中间值\( t \) 计算\( t = (r + s) \mod n \)。 检查 ：若\( t = 0 \)，签名无效（避免后续点乘运算出现无穷远点）。 4. 椭圆曲线点运算 计算点\( (x_ 1, y_ 1) = s \cdot G + t \cdot P_ a \)： \( G \)为椭圆曲线基点。 运算为标量乘法（点乘），通过倍点加算法实现。 检查 ：若结果\( (x_ 1, y_ 1) \)为无穷远点，签名无效。 5. 验证签名等式 将点\( (x_ 1, y_ 1) \)的横坐标\( x_ 1 \)转换为整数，计算： \[ R = (e + x_ 1) \mod n \] 最终判断 ：若\( R = r \)，签名有效；否则无效。 关键点说明 哈希调整 ：若\( e=0 \)时调整为\( e=1 \)，避免点乘运算中的退化情况。 点乘安全性 ：计算\( s \cdot G + t \cdot P_ a \)时需使用常数时间算法，防止侧信道攻击。 模运算一致性 ：所有整数运算需严格模\( n \)（曲线阶数），确保结果在有限域内。 此过程通过代数关系将签名\( (r, s) \)与公钥、消息绑定，任何篡改会导致等式不成立，从而实现安全验证。