基于格的数字签名算法：Dilithium 的签名生成与验证过程

字数 1930 2025-11-08 20:56:05

基于格的数字签名算法：Dilithium 的签名生成与验证过程

题目描述

Dilithium 是一种基于格上困难问题（模块化短整数解问题，MLWE）的后量子数字签名算法，其设计目标是在量子计算环境下保持安全性。本题要求详细解释 Dilithium 的签名生成与验证过程，重点包括密钥生成、签名生成中的拒绝采样技术，以及验证时如何通过线性运算判断签名的有效性。

解题过程

1. 算法背景与核心思想

Dilithium 的安全性依赖于 MLWE 问题的困难性，即从随机矩阵 \(A\) 和噪声向量中恢复秘密向量是困难的。签名过程通过引入拒绝采样技术，确保最终输出的签名不泄露私钥信息。

关键参数：

模数 \(q\)（通常为 \(2^{23} - 2^{13} + 1\)）
环 \(R_q = \mathbb{Z}_q[X]/(X^n + 1)\)（多项式环，\(n=256\)）
噪声边界 \(\eta\)，用于控制签名中的噪声大小。

2. 密钥生成过程

生成公钥 \((A, t_1)\) 和私钥 \((s_1, s_2, \rho)\)：
- 随机种子 \(\rho\) 通过哈希函数生成矩阵 \(A \in R_q^{k \times l}\)（\(k, l\) 为维度参数）。
- 生成小范数私钥向量 \(s_1, s_2\)（元素范围在 \([-\eta, \eta]\)）。
- 计算 \(t = A s_1 + s_2\)，公钥为 \((A, t_1)\)，其中 \(t_1\) 是 \(t\) 的高位压缩版本（通过量化减少存储）。

3. 签名生成过程

设待签名消息为 \(M\)，私钥为 \((s_1, s_2, \rho)\)。

计算承诺（Commitment）：
- 生成随机掩码 \(y\)（元素范围在 \([-\gamma_1, \gamma_1]\)），其中 \(\gamma_1\) 为预设边界。
- 计算 \(w = A y\)，并哈希 \((w, M)\) 得到挑战值 \(c \in B_{\tau}\)（\(B_{\tau}\) 是稀疏二值向量集合，汉明权重为 \(\tau\)）。
生成候选签名：
- 计算 \(z = y + c s_1\)。
- 检查 \(z\) 的范数是否在 \([-\gamma_1 + \beta, \gamma_1 - \beta]\) 内（\(\beta\) 为安全参数），若超出则重新生成 \(y\)（拒绝采样）。
计算辅助值 \(h\)：
- 计算 \(w - c s_2\)，并压缩得到 \(h\)（用于验证时恢复 \(w\) 的近似值）。
最终签名：
- 输出 \(\sigma = (z, h, c)\)。

拒绝采样的作用：
若直接输出 \(z = y + c s_1\)，噪声分布可能泄露 \(s_1\)。通过重采样确保 \(z\) 的分布与随机向量无异。

4. 签名验证过程

输入：公钥 \((A, t_1)\)、消息 \(M\)、签名 \(\sigma = (z, h, c)\)。

恢复 \(w'\)：
- 利用 \(h\) 和公钥计算 \(w' = A z - c t_1\)（注意 \(t_1\) 需先解压缩为 \(t\)）。
- 由于 \(t = A s_1 + s_2\)，代入得：

\[ w' = A (y + c s_1) - c (A s_1 + s_2) = A y - c s_2 \]

比较 \(w'\) 与哈希承诺是否一致。

检查范数条件：
- 验证 \(z\) 的范数是否满足 \(\|z\|_{\infty} < \gamma_1 - \beta\)。
- 验证 \(c\) 的汉明权重是否为 \(\tau\)。
验证哈希一致性：
- 计算 \(c' = H(w', M)\)，若 \(c' = c\) 则签名有效。

关键点总结

拒绝采样：确保签名值 \(z\) 不泄露私钥分布。
压缩技术：减少公钥和签名大小（如 \(t_1\) 为 \(t\) 的高位压缩）。
线性验证：通过 \(A z - c t\) 恢复承诺值，避免直接使用私钥。

通过以上步骤，Dilithium 在保证安全性的同时实现了高效的签名与验证，适用于后量子密码学场景。

基于格的数字签名算法：Dilithium 的签名生成与验证过程题目描述 Dilithium 是一种基于格上困难问题（模块化短整数解问题，MLWE）的后量子数字签名算法，其设计目标是在量子计算环境下保持安全性。本题要求详细解释 Dilithium 的签名生成与验证过程，重点包括密钥生成、签名生成中的拒绝采样技术，以及验证时如何通过线性运算判断签名的有效性。解题过程 1. 算法背景与核心思想 Dilithium 的安全性依赖于 MLWE 问题的困难性，即从随机矩阵 \( A \) 和噪声向量中恢复秘密向量是困难的。签名过程通过引入拒绝采样技术，确保最终输出的签名不泄露私钥信息。关键参数：模数 \( q \)（通常为 \( 2^{23} - 2^{13} + 1 \)）环 \( R_ q = \mathbb{Z}_ q[ X ]/(X^n + 1) \)（多项式环，\( n=256 \)）噪声边界 \( \eta \)，用于控制签名中的噪声大小。 2. 密钥生成过程生成公钥 \( (A, t_ 1) \) 和私钥 \( (s_ 1, s_ 2, \rho) \) ：随机种子 \( \rho \) 通过哈希函数生成矩阵 \( A \in R_ q^{k \times l} \)（\( k, l \) 为维度参数）。生成小范数私钥向量 \( s_ 1, s_ 2 \)（元素范围在 \( [ -\eta, \eta ] \)）。计算 \( t = A s_ 1 + s_ 2 \)，公钥为 \( (A, t_ 1) \)，其中 \( t_ 1 \) 是 \( t \) 的高位压缩版本（通过量化减少存储）。 3. 签名生成过程设待签名消息为 \( M \)，私钥为 \( (s_ 1, s_ 2, \rho) \)。计算承诺（Commitment）：生成随机掩码 \( y \)（元素范围在 \( [ -\gamma_ 1, \gamma_ 1] \)），其中 \( \gamma_ 1 \) 为预设边界。计算 \( w = A y \)，并哈希 \( (w, M) \) 得到挑战值 \( c \in B_ {\tau} \)（\( B_ {\tau} \) 是稀疏二值向量集合，汉明权重为 \( \tau \)）。生成候选签名：计算 \( z = y + c s_ 1 \)。检查 \( z \) 的范数是否在 \( [ -\gamma_ 1 + \beta, \gamma_ 1 - \beta] \) 内（\( \beta \) 为安全参数），若超出则重新生成 \( y \)（拒绝采样）。计算辅助值 \( h \) ：计算 \( w - c s_ 2 \)，并压缩得到 \( h \)（用于验证时恢复 \( w \) 的近似值）。最终签名：输出 \( \sigma = (z, h, c) \)。拒绝采样的作用：若直接输出 \( z = y + c s_ 1 \)，噪声分布可能泄露 \( s_ 1 \)。通过重采样确保 \( z \) 的分布与随机向量无异。 4. 签名验证过程输入：公钥 \( (A, t_ 1) \)、消息 \( M \)、签名 \( \sigma = (z, h, c) \)。恢复 \( w' \) ：利用 \( h \) 和公钥计算 \( w' = A z - c t_ 1 \)（注意 \( t_ 1 \) 需先解压缩为 \( t \)）。由于 \( t = A s_ 1 + s_ 2 \)，代入得： \[ w' = A (y + c s_ 1) - c (A s_ 1 + s_ 2) = A y - c s_ 2 \] 比较 \( w' \) 与哈希承诺是否一致。检查范数条件：验证 \( z \) 的范数是否满足 \( \|z\|_ {\infty} < \gamma_ 1 - \beta \)。验证 \( c \) 的汉明权重是否为 \( \tau \)。验证哈希一致性：计算 \( c' = H(w', M) \)，若 \( c' = c \) 则签名有效。关键点总结拒绝采样：确保签名值 \( z \) 不泄露私钥分布。压缩技术：减少公钥和签名大小（如 \( t_ 1 \) 为 \( t \) 的高位压缩）。线性验证：通过 \( A z - c t \) 恢复承诺值，避免直接使用私钥。通过以上步骤，Dilithium 在保证安全性的同时实现了高效的签名与验证，适用于后量子密码学场景。