最长重复子数组的变种：允许最多k次元素替换的最长公共子数组

题目描述
给定两个整数数组nums1和nums2，以及一个整数k。我们需要找到最长的公共子数组的长度，该子数组在nums1和nums2中出现，且允许在匹配过程中最多进行k次元素替换。这里的"替换"指的是如果nums1[i] ≠ nums2[j]，我们可以将其视为匹配，但计入替换次数。

示例
输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7], k = 1
输出：3
解释：最长公共子数组是[3,2,1]或[2,3,1]（替换1次）

解题过程

1. 问题分析
这是最长重复子数组问题的变种，增加了最多k次替换的灵活性。我们需要找到两个数组中的连续子数组，使得它们相似度最高（最多k个位置不同）。

2. 动态规划定义
定义dp[i][j][t]表示以nums1的第i个元素和nums2的第j个元素结尾的子数组，在使用恰好t次替换时的最大公共子数组长度。

3. 状态转移方程

• 如果nums1[i-1] == nums2[j-1]（匹配成功）：
  dp[i][j][t] = dp[i-1][j-1][t] + 1
• 如果nums1[i-1] != nums2[j-1]（需要替换）：
  当t > 0时，dp[i][j][t] = dp[i-1][j-1][t-1] + 1
  当t = 0时，dp[i][j][0] = 0（不能替换）
• 边界情况：当i=0或j=0时，dp[i][j][t] = 0

4. 初始化

• 创建三维数组dp[len1+1][len2+1][k+1]
• 所有元素初始化为0

5. 填充DP表
我们按顺序遍历所有可能的状态：

for i in range(1, len1+1):
    for j in range(1, len2+1):
        for t in range(k+1):  # t从0到k
            if nums1[i-1] == nums2[j-1]:
                dp[i][j][t] = dp[i-1][j-1][t] + 1
            else:
                if t > 0:
                    dp[i][j][t] = dp[i-1][j-1][t-1] + 1
                else:
                    dp[i][j][t] = 0

6. 寻找最大值
我们需要在所有可能的替换次数（0到k）中找到最大值：

max_length = 0
for i in range(len1+1):
    for j in range(len2+1):
        for t in range(k+1):
            max_length = max(max_length, dp[i][j][t])

7. 空间优化
由于dp[i][j][t]只依赖于dp[i-1][j-1][t]和dp[i-1][j-1][t-1]，我们可以使用二维数组进行空间优化：

# 使用两个二维数组交替计算
dp_prev = [[0]*(k+1) for _ in range(len2+1)]
dp_curr = [[0]*(k+1) for _ in range(len2+1)]

max_length = 0
for i in range(1, len1+1):
    for j in range(1, len2+1):
        for t in range(k+1):
            if nums1[i-1] == nums2[j-1]:
                dp_curr[j][t] = dp_prev[j-1][t] + 1
            else:
                if t > 0:
                    dp_curr[j][t] = dp_prev[j-1][t-1] + 1
                else:
                    dp_curr[j][t] = 0
            max_length = max(max_length, dp_curr[j][t])
    dp_prev, dp_curr = dp_curr, dp_prev  # 交换数组

8. 时间复杂度分析

• 时间复杂度：O(len1 × len2 × k)
• 空间复杂度：O(len2 × k)（优化后）

关键理解点

1. 替换操作允许我们在元素不匹配时仍然可以延长公共子数组
2. 替换次数t是累积的，需要记录在不同替换次数下的最优解
3. 最终结果是所有可能替换次数下的最大值

这种方法通过动态规划巧妙地处理了替换操作，在保持算法效率的同时解决了复杂的匹配问题。