SM4分组密码算法中的非线性变换τ详解
SM4是一种分组密码算法，采用32轮非线性迭代结构。其中，非线性变换τ是轮函数的核心组成部分，负责提供算法的混淆特性。下面逐步讲解τ的设计与实现过程。
1. τ变换的基本作用
τ变换是一个4字节（32位）输入到4字节输出的非线性映射，由4个并行的8位S盒构成。其核心目标是：
- 将轮函数输入的32位数据通过S盒替换，破坏明文与密文之间的线性关系。
- 抵抗密码分析中的差分攻击和线性攻击。
2. τ变换的数学定义
设输入为32位数据 \(a = (a_0, a_1, a_2, a_3)\)，其中每个 \(a_i\) 为8位字节。τ变换的输出 \(b = (b_0, b_1, b_2, b_3)\) 定义为：
\[b_i = S(a_i), \quad i=0,1,2,3 \]
其中 \(S(\cdot)\) 是SM4的8×8比特S盒，通过复合有限域运算实现非线性映射。
3. S盒的具体构造
SM4的S盒采用仿射变换+有限域逆运算的结构，步骤如下：
步骤1：有限域逆运算
- 将输入字节 \(x\) 视为 \(\text{GF}(2^8)\) 上的元素（不可约多项式为 \(x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + 1\)）。
- 计算 \(x\) 在有限域上的乘法逆元 \(x^{-1}\)（若 \(x=0\)，则输出0）。
步骤2：仿射变换
对逆运算结果 \(y\) 进行仿射变换：
\[y' = A \cdot y + c \]
其中：
- \(A\) 是8×8比特的矩阵，表示线性变换（按位异或和移位）。
- \(c\) 是常数向量
0x63（十六进制）。
示例（简化说明）：
若输入 \(a_0 = \text{0x12}\)，则：
- 计算 \(\text{0x12}\) 在 \(\text{GF}(2^8)\) 上的逆元（查表或运算得 \(\text{0xC9}\)）。
- 对 \(\text{0xC9}\) 应用仿射变换，得到输出 \(b_0\)。
4. τ变换在轮函数中的位置
SM4的轮函数结构为：
\[X_{i+4} = X_i \oplus T(X_{i+1} \oplus X_{i+2} \oplus X_{i+3} \oplus RK_i) \]
其中：
- \(T(\cdot) = L(\tau(\cdot))\) 是轮函数的核心变换。
- 先进行τ变换（S盒替换），再进行线性变换L（扩散作用）。
5. 线性变换L的作用
τ变换后，数据进入线性变换L：
\[L(b) = b \oplus (b \lll 2) \oplus (b \lll 10) \oplus (b \lll 18) \oplus (b \lll 24) \]
其中 \(\lll\) 表示循环左移。L变换将S盒的局部非线性效应扩散到整个32位数据中。
6. 安全性设计要点
- S盒代数性质：SM4的S盒具有高非线性度（104）和低差分均匀性（4），能有效抵抗线性/差分分析。
- 与L变换配合：单独S盒仅提供字节级混淆，结合L变换实现整字扩散，确保多轮后达到雪崩效应。
7. 实例验证（简化）
假设轮函数输入为32位数据 \(\text{0x12345678}\)，轮密钥 \(RK_i = \text{0xabcdef01}\)：
- 计算 \(\text{0x12345678} \oplus \text{0xabcdef01} = \text{0xBE9BF979}\)。
- τ变换：将每个字节通过S盒替换（例如查表得
0xBE→0xE1,0x9B→0x3D等），输出 \(\text{0xE13D6A87}\)。 - L变换：对 \(\text{0xE13D6A87}\) 进行循环左移和异或，得到最终输出。
总结
τ变换通过S盒实现非线性替换，是SM4抵抗密码分析的关键。其设计结合有限域运算与仿射变换，确保安全性与效率的平衡。理解τ变换有助于深入掌握SM4的轮函数结构和安全机理。