基于线性规划的分解算法求解示例
字数 2110 2025-11-08 10:02:38

基于线性规划的分解算法求解示例

题目描述

考虑一个大规模线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min \quad & c_1^T x_1 + c_2^T x_2 + \cdots + c_N^T x_N \\ \text{s.t.} \quad & A_1 x_1 + A_2 x_2 + \cdots + A_N x_N = b_0 \quad \text{(耦合约束)} \\ & B_i x_i = b_i, \quad x_i \geq 0 \quad \text{对 } i=1,\dots,N \quad \text{(独立约束)} \end{aligned} \]

其中，变量 \(x_i\) 和约束 \(B_i x_i = b_i\) 被分解为 \(N\) 个独立的子问题，而 \(A_i x_i\) 的求和约束将子问题关联起来。这种结构常见于资源分配、网络流等问题。

解题步骤

1. 问题分解思路

由于直接求解大规模问题计算成本高，分解算法将问题拆分为：

  • 主问题（Master Problem）：处理耦合约束 \(\sum_{i=1}^N A_i x_i = b_0\)。
  • 子问题（Subproblems）：每个子问题独立求解 \(B_i x_i = b_i, x_i \geq 0\)，并向主问题提供可行解的信息（如极值点或极方向）。

2. 主问题的重构

利用凸组合表示法，每个子问题的可行域 \(X_i = \{x_i \mid B_i x_i = b_i, x_i \geq 0\}\) 可表示为极值点（顶点）的凸组合：

\[x_i = \sum_{k=1}^{K_i} \lambda_{i,k} p_{i,k}, \quad \sum_{k=1}^{K_i} \lambda_{i,k} = 1, \quad \lambda_{i,k} \geq 0 \]

其中 \(p_{i,k}\) 是 \(X_i\) 的极值点。代入原问题，主问题变为：

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^{K_i} (c_i^T p_{i,k}) \lambda_{i,k} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^{K_i} (A_i p_{i,k}) \lambda_{i,k} = b_0 \\ & \sum_{k=1}^{K_i} \lambda_{i,k} = 1 \quad \forall i, \quad \lambda_{i,k} \geq 0 \end{aligned} \]

该问题称为广义主问题，变量为权重 \(\lambda_{i,k}\)。

3. 列生成（Column Generation）

由于极值点数量 \(K_i\) 可能极大，直接枚举不可行。列生成动态生成必要的列（即极值点）：

  1. 限制主问题（RMP）：初始仅包含部分极值点，求解 RMP 得到对偶变量 \(\pi\)（对应耦合约束）和 \(\sigma_i\)（对应凸性约束）。
  2. 子问题优化：对每个子问题 \(i\)，求解定价问题（Pricing Problem）：

\[ \min_{x_i \in X_i} (c_i - \pi^T A_i)^T x_i \]

目标函数值记为 \(\zeta_i\)。若 \(\zeta_i - \sigma_i < 0\)，则当前极值点 \(x_i^*\) 可加入 RMP 作为新列；否则无改进列。
3. 迭代：重复求解 RMP 和子问题，直到所有子问题满足 \(\zeta_i - \sigma_i \geq 0\)，此时主问题达到最优。

4. 算法流程

  1. 初始化：为每个子问题生成至少一个可行解 \(p_{i,1}\)，构建初始 RMP。
  2. 循环直到收敛：
    • 求解 RMP，得到对偶变量 \(\pi, \sigma_i\)。
    • 对每个 \(i\)，求解子问题 \(\min_{x_i \in X_i} (c_i - \pi^T A_i)^T x_i\)。
    • 若存在 \(i\) 使目标值 \(\zeta_i < \sigma_i\)，将解 \(x_i^*\) 作为新列加入 RMP；否则终止。
  3. 输出：由 RMP 的最优 \(\lambda^*\) 还原原变量 \(x_i^* = \sum_k \lambda_{i,k}^* p_{i,k}\)。

关键点说明

  • 优势：分解后子问题可并行求解，适合分布式计算。
  • 收敛性：由于线性规划的最优解在极值点达到，该算法有限步收敛。
  • 实际应用：类似 Dantzig-Wolfe 分解，常用于块角结构问题（如多商品流）。

通过这种分解，大规模问题被拆分为易处理的子模块，显著降低计算复杂度。

基于线性规划的分解算法求解示例 题目描述 考虑一个大规模线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min \quad & c_ 1^T x_ 1 + c_ 2^T x_ 2 + \cdots + c_ N^T x_ N \\ \text{s.t.} \quad & A_ 1 x_ 1 + A_ 2 x_ 2 + \cdots + A_ N x_ N = b_ 0 \quad \text{(耦合约束)} \\ & B_ i x_ i = b_ i, \quad x_ i \geq 0 \quad \text{对 } i=1,\dots,N \quad \text{(独立约束)} \end{aligned} \] 其中，变量 \(x_ i\) 和约束 \(B_ i x_ i = b_ i\) 被分解为 \(N\) 个独立的子问题，而 \(A_ i x_ i\) 的求和约束将子问题关联起来。这种结构常见于资源分配、网络流等问题。 解题步骤 1. 问题分解思路 由于直接求解大规模问题计算成本高，分解算法将问题拆分为： 主问题（Master Problem） ：处理耦合约束 \( \sum_ {i=1}^N A_ i x_ i = b_ 0 \)。 子问题（Subproblems） ：每个子问题独立求解 \(B_ i x_ i = b_ i, x_ i \geq 0\)，并向主问题提供可行解的信息（如极值点或极方向）。 2. 主问题的重构 利用 凸组合表示法 ，每个子问题的可行域 \(X_ i = \{x_ i \mid B_ i x_ i = b_ i, x_ i \geq 0\}\) 可表示为极值点（顶点）的凸组合： \[ x_ i = \sum_ {k=1}^{K_ i} \lambda_ {i,k} p_ {i,k}, \quad \sum_ {k=1}^{K_ i} \lambda_ {i,k} = 1, \quad \lambda_ {i,k} \geq 0 \] 其中 \(p_ {i,k}\) 是 \(X_ i\) 的极值点。代入原问题，主问题变为： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {i=1}^N \sum_ {k=1}^{K_ i} (c_ i^T p_ {i,k}) \lambda_ {i,k} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {i=1}^N \sum_ {k=1}^{K_ i} (A_ i p_ {i,k}) \lambda_ {i,k} = b_ 0 \\ & \sum_ {k=1}^{K_ i} \lambda_ {i,k} = 1 \quad \forall i, \quad \lambda_ {i,k} \geq 0 \end{aligned} \] 该问题称为 广义主问题 ，变量为权重 \(\lambda_ {i,k}\)。 3. 列生成（Column Generation） 由于极值点数量 \(K_ i\) 可能极大，直接枚举不可行。列生成动态生成必要的列（即极值点）： 限制主问题（RMP） ：初始仅包含部分极值点，求解 RMP 得到对偶变量 \(\pi\)（对应耦合约束）和 \(\sigma_ i\)（对应凸性约束）。 子问题优化 ：对每个子问题 \(i\)，求解定价问题（Pricing Problem）： \[ \min_ {x_ i \in X_ i} (c_ i - \pi^T A_ i)^T x_ i \] 目标函数值记为 \(\zeta_ i\)。若 \(\zeta_ i - \sigma_ i < 0\)，则当前极值点 \(x_ i^* \) 可加入 RMP 作为新列；否则无改进列。 迭代 ：重复求解 RMP 和子问题，直到所有子问题满足 \(\zeta_ i - \sigma_ i \geq 0\)，此时主问题达到最优。 4. 算法流程 初始化：为每个子问题生成至少一个可行解 \(p_ {i,1}\)，构建初始 RMP。 循环直到收敛： 求解 RMP，得到对偶变量 \(\pi, \sigma_ i\)。 对每个 \(i\)，求解子问题 \(\min_ {x_ i \in X_ i} (c_ i - \pi^T A_ i)^T x_ i\)。 若存在 \(i\) 使目标值 \(\zeta_ i < \sigma_ i\)，将解 \(x_ i^* \) 作为新列加入 RMP；否则终止。 输出：由 RMP 的最优 \(\lambda^ \) 还原原变量 \(x_ i^ = \sum_ k \lambda_ {i,k}^* p_ {i,k}\)。 关键点说明 优势 ：分解后子问题可并行求解，适合分布式计算。 收敛性 ：由于线性规划的最优解在极值点达到，该算法有限步收敛。 实际应用 ：类似 Dantzig-Wolfe 分解，常用于块角结构问题（如多商品流）。 通过这种分解，大规模问题被拆分为易处理的子模块，显著降低计算复杂度。