高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 ： 计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 其中 \( f(x) \) 是光滑函数，但积分核 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在端点 \( x = \pm 1 \) 处具有奇异性（被积函数无界）。这类积分常见于物理问题（如电磁场计算）或特殊函数表示。要求通过变量替换消除奇异性，并利用高斯-切比雪夫求积公式高效计算。 解题过程 1. 奇异性分析 被积函数在端点 \( x \to \pm 1 \) 时，分母 \(\sqrt{1-x^2} \to 0\)，导致积分核趋于无穷。直接使用普通数值积分（如牛顿-科特斯公式）会因端点奇异性产生较大误差。 2. 高斯-切比雪夫求积公式的自然适用性 高斯-切比雪夫求积公式专门用于计算形如 \[ \int_ {-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 的积分，其节点为切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \) 的零点，权重为常数 \(\pi/n\)。公式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} g(x_ k), \quad x_ k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right). \] 关键点 ：该公式的权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 恰好与积分核匹配，因此无需额外处理奇异性。 3. 变量替换与问题转化 原积分为 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx. \] 令 \( g(x) = f(x) \)，则直接应用高斯-切比雪夫公式： \[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f(x_ k), \quad x_ k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right). \] 注 ：若积分核为其他形式（如 \((1-x)^\alpha (1+x)^\beta\)），需选择对应的高斯-雅可比求积公式。 4. 误差分析 高斯-切比雪夫公式的误差项为： \[ E_ n = \frac{2\pi}{2^{2n}(2n) !} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (-1,1). \] 当 \( f(x) \) 光滑时，误差随 \( n \) 增加指数衰减。若 \( f(x) \) 是多项式且次数 \(\leq 2n-1\)，则公式精确成立。 5. 计算示例 设 \( f(x) = e^x \)，计算 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{e^x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx. \] 取 \( n=3 \)，节点为： \[ x_ 1 = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_ 2 = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad x_ 3 = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \] 近似值为： \[ I \approx \frac{\pi}{3} \left( e^{\sqrt{3}/2} + e^0 + e^{-\sqrt{3}/2} \right) \approx 3.977. \] 与精确值 \( \pi I_ 0(1) \approx 3.977 \) 对比（其中 \( I_ 0 \) 是修正贝塞尔函数），结果高度一致。 6. 一般化技巧 若积分区间为 \([ a,b]\) 而非 \([ -1,1]\)，需先通过线性变换 \( x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \) 将区间映射到 \([ -1,1 ]\)，再应用公式。 总结 ： 通过选择与积分核匹配的高斯求积公式（如高斯-切比雪夫公式处理端点奇异性），无需显式正则化即可直接计算奇异积分。该方法既避免了复杂变换，又保证了高精度和稳定性。