高斯-勒让德求积公式在带边界层函数积分中的变量替换技巧

题目内容
计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \]

其中被积函数 \(f(x)\) 在区间端点附近存在边界层（即函数在端点处变化剧烈，例如 \(f(x) = e^{-x/\varepsilon}\) 或 \(\tanh(x/\varepsilon)\)，\(\varepsilon \ll 1\)）。直接应用高斯-勒让德求积公式会因节点在端点附近分布稀疏而导致精度不足。需通过变量替换将边界层“拉伸”，使节点分布更适应函数变化。

解题步骤

1. 问题分析

   • 高斯-勒让德求积公式在区间 \([-1, 1]\) 上对光滑函数效率高，但其节点分布由勒让德多项式零点决定，端点附近节点稀疏（例如 \(n=5\) 时节点距端点约 \(0.34\)）。
   • 边界层函数在端点处梯度极大（如 \(f(x) = e^{-(1-x)/\varepsilon}\) 在 \(x \approx 1\) 时剧烈变化），稀疏节点无法捕捉边界层行为，导致积分误差较大。

2. 变量替换策略
   引入单调可微的变量替换 \(x = g(t)\)，将原积分变为：

\[ I = \int_{-1}^{1} f(g(t)) \, g'(t) \, dt \]

替换的目标是：在新变量 \(t\) 下，边界层区域被拉伸，使高斯-勒让德节点在 \(x\)-空间中间端点密集分布。

• 常用替换：双曲正弦变换（边界层在两端）或指数变换（边界层在单侧）。
• 以单侧边界层 \(f(x) = e^{-(1-x)/\varepsilon}\) 为例，选择变换：

\[ x = 1 + \varepsilon \ln\left( \frac{1+t}{2} \right) \]

 此变换将 $t \in [-1, 1]$ 映射到 $x \in [-\infty, 1]$，但需调整至有限区间。更实用的形式是**边界层拉伸变换**：

\[ x = \tanh\left( \frac{t}{\delta} \right) \]

 其中 $\delta$ 为边界层厚度参数，通过调整 $\delta$ 控制拉伸强度。

3. 替换函数选择与参数确定
   • 对于对称边界层（如 \(f(x) = e^{-(1-x^2)/\varepsilon}\)），采用：

\[ x = \operatorname{erf}(t / \delta) \]

 其中 $\operatorname{erf}$ 为误差函数，能将 $t$ 均匀分布转换为 $x$ 在端点处的密集分布。  

• 参数 \(\delta\) 需根据边界层厚度 \(\varepsilon\) 选择：经验公式为 \(\delta \approx \sqrt{\varepsilon}\) 或通过试验确定，使变换后函数 \(f(g(t)) g'(t)\) 在 \(t\)-空间近似光滑。

4. 应用高斯-勒让德求积
   • 对变换后的积分 \(I = \int_{-1}^{1} f(g(t)) g'(t) \, dt\) 直接应用 \(n\) 点高斯-勒让德公式：

\[ I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(g(t_i)) g'(t_i) \]

 其中 $t_i, w_i$ 为标准高斯-勒让德节点和权重。  

• 关键优势：节点 \(t_i\) 在 \(t\)-空间均匀分布，但通过 \(x = g(t)\) 映射回原空间后，在端点附近节点密度显著增加。

5. 误差控制与验证
   • 通过增加节点数 \(n\) 并观察积分值变化，若收敛缓慢则调整 \(\delta\)。
   • 示例：对 \(f(x) = e^{-(1-x)/0.01}\) 在 \([-1,1]\) 积分，直接使用 \(n=10\) 的高斯-勒让德公式误差较大；应用变换 \(x = 1 + 0.01 \ln((1+t)/2)\) 后，误差减少至 \(10^{-6}\) 量级。

总结
变量替换法通过改变积分空间的节点分布，使高斯-勒让德公式适应边界层特性。核心在于选择拉伸变换并优化参数，以平衡边界层分辨率与整体计算效率。