非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-梯度投影-混合整数规划-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题

字数 2621 2025-11-08 10:02:38

题目描述
考虑一个复杂的非线性规划问题，包含连续与整数变量、非线性目标函数、非线性不等式与等式约束。该问题形式如下：

\[\begin{aligned} \min_{x,y} \quad & f(x,y) = x_1^2 + 2x_2^2 + y_1^2 + \sin(x_1 + x_2) \\ \text{s.t.} \quad & g_1(x,y) = x_1 + x_2^2 - 5 \le 0, \\ & g_2(x,y) = x_1^2 + y_1 - 10 \le 0, \\ & h_1(x,y) = x_1 + x_2 + y_1 - 7 = 0, \\ & x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \quad y_1 \in \{0, 1, 2\}. \end{aligned} \]

目标是通过混合算法结合多种策略（如序列二次规划、积极集、乘子法、过滤器等）逐步求解该问题。

解题过程

步骤1：整数变量松弛化

将离散变量 \(y_1\) 松弛为连续变量 \(\tilde{y}_1 \in [0, 2]\)，并添加约束 \(\tilde{y}_1 (1 - \tilde{y}_1)(2 - \tilde{y}_1) = 0\) 以保证最终取整。
松弛后问题变为连续非线性规划，但需处理新增等式约束。

步骤2：自适应屏障函数处理不等式约束

将不等式约束 \(g_1, g_2 \le 0\) 用对数屏障函数近似：

\[ B(x, \mu) = f(x,\tilde{y}_1) - \mu \left( \ln(-g_1) + \ln(-g_2) \right), \]

其中 \(\mu > 0\) 为屏障参数，逐步减小以逼近可行边界。

步骤3：增广拉格朗日法处理等式约束

将等式约束 \(h_1 = 0\) 和整数松弛约束纳入增广拉格朗日函数：

\[ L_A(x, \tilde{y}_1, \lambda, \rho) = B(x, \mu) + \lambda h_1 + \frac{\rho}{2} h_1^2 + \lambda_I (\tilde{y}_1 (1 - \tilde{y}_1)(2 - \tilde{y}_1)) + \frac{\rho_I}{2} \left( \tilde{y}_1 (1 - \tilde{y}_1)(2 - \tilde{y}_1) \right)^2, \]

其中 \(\lambda, \lambda_I\) 为拉格朗日乘子，\(\rho, \rho_I\) 为惩罚参数。

步骤4：序列二次规划（SQP）框架

在当前迭代点 \((x^k, \tilde{y}_1^k)\)，构建二次规划子问题：
- 目标函数：用二阶近似（Hessian矩阵通过拟牛顿法更新）替代 \(L_A\)。
- 约束线性化：\(g_1, g_2, h_1\) 及整数约束一阶泰勒展开。
子问题形式：

\[ \begin{aligned} \min_{\Delta x, \Delta \tilde{y}_1} \quad & \nabla L_A^k \cdot d + \frac{1}{2} d^T H_k d \\ \text{s.t.} \quad & g_i^k + \nabla g_i^k \cdot d \le 0, \quad i=1,2, \\ & h_1^k + \nabla h_1^k \cdot d = 0, \\ & \tilde{y}_1^k + \Delta \tilde{y}_1 \in [0, 2], \end{aligned} \]

其中 \(d = (\Delta x, \Delta \tilde{y}_1)\)。

步骤5：积极集策略识别有效约束

在求解QP子问题时，仅保留临近边界的约束（如 \(g_i(x^k) \ge -\epsilon\)）作为有效约束，减少计算量。

步骤6：过滤器与信赖域结合

使用过滤器记录非支配的 \((f, \text{约束违反度})\) 点，避免拉格朗日函数权重调整的复杂性。
信赖域半径 \(\Delta_k\) 控制步长 \(d\) 的可行性，根据实际下降量与预测下降量比例调整：
- 若比例高（接近1），扩大信赖域；若比例低（接近0），缩小信赖域。
若步长不被过滤器接受或违反信赖域，则拒绝并缩小 \(\Delta_k\)。

步骤7：动态隧道与填充函数辅助全局搜索

若陷入局部极小，调用动态隧道法：构造隧道函数跳过当前极小点，例如

\[ T(x) = \frac{f(x) - f(x^*)}{(x - x^*)^2}, \]

引导搜索逃离局部最优。

填充函数在局部极小附近构造辅助函数，使搜索进入更低区域。

步骤8：代理模型加速计算

对复杂函数 \(f, g_i, h_1\) 使用Kriging或径向基函数代理模型，在迭代中逐步更新模型以减少真实函数调用。

步骤9：梯度投影处理变量边界

对连续变量 \(x_1, x_2\) 和松弛变量 \(\tilde{y}_1\) 的边界约束，在每一步用梯度投影确保迭代点停留在可行域内。

步骤10：交替方向乘子法（ADMM）分解问题

将问题按变量分组（如 \(x\) 与 \(\tilde{y}_1\)）分解为子问题，交替优化并更新乘子，适用于大规模问题。

步骤11：逐步凸逼近（SCA）处理非凸性

对非凸函数部分（如 \(\sin(x_1 + x_2)\)）在当前点进行凸近似，确保子问题易求解。

步骤12：收敛与整数恢复

当连续变量收敛且约束违反度足够小时，将 \(\tilde{y}_1\) 投影到最近的整数（0、1或2），验证可行性。
若整数约束被违反，用分支定界法在整数空间微调。

总结
通过结合多种策略，该混合算法逐步处理整数变量、非凸性、约束和局部极小问题，最终找到满足整数约束的近似最优解。

非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-梯度投影-混合整数规划-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题题目描述考虑一个复杂的非线性规划问题，包含连续与整数变量、非线性目标函数、非线性不等式与等式约束。该问题形式如下： \[ \begin{aligned} \min_ {x,y} \quad & f(x,y) = x_ 1^2 + 2x_ 2^2 + y_ 1^2 + \sin(x_ 1 + x_ 2) \\ \text{s.t.} \quad & g_ 1(x,y) = x_ 1 + x_ 2^2 - 5 \le 0, \\ & g_ 2(x,y) = x_ 1^2 + y_ 1 - 10 \le 0, \\ & h_ 1(x,y) = x_ 1 + x_ 2 + y_ 1 - 7 = 0, \\ & x_ 1, x_ 2 \in \mathbb{R}, \quad y_ 1 \in \{0, 1, 2\}. \end{aligned} \] 目标是通过混合算法结合多种策略（如序列二次规划、积极集、乘子法、过滤器等）逐步求解该问题。解题过程步骤1：整数变量松弛化将离散变量 \(y_ 1\) 松弛为连续变量 \(\tilde{y}_ 1 \in [ 0, 2]\)，并添加约束 \(\tilde{y}_ 1 (1 - \tilde{y}_ 1)(2 - \tilde{y}_ 1) = 0\) 以保证最终取整。松弛后问题变为连续非线性规划，但需处理新增等式约束。步骤2：自适应屏障函数处理不等式约束将不等式约束 \(g_ 1, g_ 2 \le 0\) 用对数屏障函数近似： \[ B(x, \mu) = f(x,\tilde{y}_ 1) - \mu \left( \ln(-g_ 1) + \ln(-g_ 2) \right), \] 其中 \(\mu > 0\) 为屏障参数，逐步减小以逼近可行边界。步骤3：增广拉格朗日法处理等式约束将等式约束 \(h_ 1 = 0\) 和整数松弛约束纳入增广拉格朗日函数： \[ L_ A(x, \tilde{y}_ 1, \lambda, \rho) = B(x, \mu) + \lambda h_ 1 + \frac{\rho}{2} h_ 1^2 + \lambda_ I (\tilde{y}_ 1 (1 - \tilde{y}_ 1)(2 - \tilde{y}_ 1)) + \frac{\rho_ I}{2} \left( \tilde{y}_ 1 (1 - \tilde{y}_ 1)(2 - \tilde{y}_ 1) \right)^2, \] 其中 \(\lambda, \lambda_ I\) 为拉格朗日乘子，\(\rho, \rho_ I\) 为惩罚参数。步骤4：序列二次规划（SQP）框架在当前迭代点 \((x^k, \tilde{y}_ 1^k)\)，构建二次规划子问题：目标函数：用二阶近似（Hessian矩阵通过拟牛顿法更新）替代 \(L_ A\)。约束线性化：\(g_ 1, g_ 2, h_ 1\) 及整数约束一阶泰勒展开。子问题形式： \[ \begin{aligned} \min_ {\Delta x, \Delta \tilde{y}_ 1} \quad & \nabla L_ A^k \cdot d + \frac{1}{2} d^T H_ k d \\ \text{s.t.} \quad & g_ i^k + \nabla g_ i^k \cdot d \le 0, \quad i=1,2, \\ & h_ 1^k + \nabla h_ 1^k \cdot d = 0, \\ & \tilde{y}_ 1^k + \Delta \tilde{y}_ 1 \in [ 0, 2 ], \end{aligned} \] 其中 \(d = (\Delta x, \Delta \tilde{y}_ 1)\)。步骤5：积极集策略识别有效约束在求解QP子问题时，仅保留临近边界的约束（如 \(g_ i(x^k) \ge -\epsilon\)）作为有效约束，减少计算量。步骤6：过滤器与信赖域结合使用过滤器记录非支配的 \((f, \text{约束违反度})\) 点，避免拉格朗日函数权重调整的复杂性。信赖域半径 \(\Delta_ k\) 控制步长 \(d\) 的可行性，根据实际下降量与预测下降量比例调整：若比例高（接近1），扩大信赖域；若比例低（接近0），缩小信赖域。若步长不被过滤器接受或违反信赖域，则拒绝并缩小 \(\Delta_ k\)。步骤7：动态隧道与填充函数辅助全局搜索若陷入局部极小，调用动态隧道法：构造隧道函数跳过当前极小点，例如 \[ T(x) = \frac{f(x) - f(x^ )}{(x - x^ )^2}, \] 引导搜索逃离局部最优。填充函数在局部极小附近构造辅助函数，使搜索进入更低区域。步骤8：代理模型加速计算对复杂函数 \(f, g_ i, h_ 1\) 使用Kriging或径向基函数代理模型，在迭代中逐步更新模型以减少真实函数调用。步骤9：梯度投影处理变量边界对连续变量 \(x_ 1, x_ 2\) 和松弛变量 \(\tilde{y}_ 1\) 的边界约束，在每一步用梯度投影确保迭代点停留在可行域内。步骤10：交替方向乘子法（ADMM）分解问题将问题按变量分组（如 \(x\) 与 \(\tilde{y}_ 1\)）分解为子问题，交替优化并更新乘子，适用于大规模问题。步骤11：逐步凸逼近（SCA）处理非凸性对非凸函数部分（如 \(\sin(x_ 1 + x_ 2)\)）在当前点进行凸近似，确保子问题易求解。步骤12：收敛与整数恢复当连续变量收敛且约束违反度足够小时，将 \(\tilde{y}_ 1\) 投影到最近的整数（0、1或2），验证可行性。若整数约束被违反，用分支定界法在整数空间微调。总结通过结合多种策略，该混合算法逐步处理整数变量、非凸性、约束和局部极小问题，最终找到满足整数约束的近似最优解。