区间动态规划例题：切棍子的最小成本问题（进阶版） 题目描述 你有一根长度为 n 的木棍，它由 0 到 n 的整数位置标记。现给定一个整数数组 cuts ，其中 cuts[i] 表示需要在木棍的该位置进行切割。每次切割的成本等于当前木棍的长度。要求确定切割顺序，使得所有切割完成后的总成本最小，并返回最小总成本。 例如，木棍长度 n = 7 ，切割位置 cuts = [1, 3, 4, 5] 。若按顺序在位置 4、3、1、5 切割，总成本计算如下： 第一次切割长度为 7 的木棍在位置 4，成本为 7，得到两段长度分别为 4 和 3 的木棍。 第二次切割长度为 4 的木棍在位置 3（相对位置需换算），成本为 4，得到两段长度分别为 3 和 1 的木棍。 第三次切割长度为 3 的木棍在位置 1，成本为 3，得到两段长度分别为 1 和 2 的木棍。 第四次切割长度为 3 的木棍在位置 5（相对位置需换算），成本为 3。 总成本为 7 + 4 + 3 + 3 = 17。但存在更优顺序使总成本更低。 解题过程 步骤 1：问题分析与状态定义 关键点：每次切割的成本取决于当前木棍的长度，而切割顺序影响后续木棍的长度。 区间动态规划适用性：将木棍视为区间 [left, right] ，其中 left 和 right 是木棍的端点（包括切割点）。定义 dp[i][j] 表示在区间 [cuts[i], cuts[j]] 内（即端点 cuts[i] 和 cuts[j] 之间的木棍段）进行所有必要切割的最小总成本。 预处理：将切割点数组 cuts 排序，并加入边界点 0 和 n ，形成扩展切割点数组 c 。例如， n = 7 , cuts = [1, 3, 4, 5] 扩展为 c = [0, 1, 3, 4, 5, 7] 。 状态定义：设 dp[i][j] 表示在区间 [c[i], c[j]] 内（即从第 i 个切割点到第 j 个切割点之间的木棍段）进行所有内部切割（不包括端点 i 和 j ）的最小成本。区间长度 j - i ≥ 2 时才有切割意义。 步骤 2：状态转移方程 基础情况：若区间内无切割点（即 j - i == 1 ），则 dp[i][j] = 0 （无需切割）。 一般情况：对于区间 [i, j] ，枚举第一个切割点 k （ i < k < j ），将区间分为 [i, k] 和 [k, j] 。切割成本为当前木棍长度 c[j] - c[i] ，加上左右子区间的最小成本： dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k][j]) + (c[j] - c[i]) ，其中 k 遍历 i+1 到 j-1 。 解释：选择切割点 k 后，木棍被分为两段，成本为当前段长度；左右子区间独立切割，其最小成本已通过子问题计算。 步骤 3：计算顺序与初始化 初始化：所有 dp[i][j] 初始化为 0（当 j - i == 1 ）或一个大数（如 INT_MAX ）。 计算顺序：按区间长度从小到大计算。外层循环为区间长度 len 从 2 到 m-1 （ m 为扩展切割点数组长度），内层循环为起点 i 从 0 到 m - len ，终点 j = i + len 。 示例：扩展切割点 c = [0, 1, 3, 4, 5, 7] ， m = 6 。计算顺序： len = 2 ：区间如 [0,1] , [1,3] ...（无内部切割点，成本为 0）。 len = 3 ：区间如 [0,3] （内部切割点 k=1 ）， dp[0][3] = min(dp[0][1] + dp[1][3]) + (3-0) = 0 + 0 + 3 = 3 。 逐步计算至 len = 5 （区间 [0,7] ）。 步骤 4：结果提取与复杂度 结果：最终答案为 dp[0][m-1] ，即整个木棍 [0, n] 的最小切割成本。 时间复杂度：O(m³)，其中 m 为扩展切割点数量（通常 m = |cuts| + 2 ）。空间复杂度：O(m²)。 示例验证 对 n = 7 , cuts = [1, 3, 4, 5] ，扩展 c = [0, 1, 3, 4, 5, 7] 。 计算 dp[0][5] ：枚举 k = 1,2,3,4 ，取最小值： k=1 : dp[0][1] + dp[1][5] + 7 → 需先计算子区间。 最终得最小成本为 16（如顺序 1,3,4,5 或 3,1,4,5）。 对比暴力顺序（成本 17），动态规划找到更优解。 通过以上步骤，可系统解决该问题，确保切割顺序最优且成本最小。