非线性规划中的序列二次规划-乘子法-积极集-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-梯度投影-混合整数规划-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题
字数 2842 2025-11-08 10:02:38

非线性规划中的序列二次规划-乘子法-积极集-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-梯度投影-混合整数规划-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题

题目描述
考虑如下非线性规划问题：

\[\min f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 \]

满足约束：

\[g_1(x) = x_1^2 - x_2 \le 0, \quad g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \le 0. \]

要求使用一种混合优化策略，结合序列二次规划（SQP）、乘子法、积极集筛选、过滤器接受机制、信赖域全局收敛控制、自适应屏障处理不等式约束、代理模型辅助梯度计算、梯度投影处理简单界约束（若存在）、混合整数规划处理离散变量（若存在）、交替方向乘子法（ADMM）分解子问题、逐步凸逼近局部简化、动态隧道法逃离局部极小、填充函数法辅助全局搜索、松弛变量法处理等式约束（若存在）、增广拉格朗日法强化约束稳定性。本题需在混合框架下逐步求解，并详细说明每个组件的协作流程。

解题过程

1. 问题重构与初始化

  • 原问题为连续变量问题，无离散变量或等式约束，因此混合整数规划与松弛变量法暂不激活。
  • 初始点设为 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，计算初始目标值 \(f(x^{(0)}) = 5\) 和约束违反度 \(\max(0, g_1(x), g_2(x)) = 0\)。
  • 自适应屏障参数设为 \(\mu = 10\)，增广拉格朗日惩罚参数 \(\rho = 1 \，乘子初始值 \( \lambda_1 = \lambda_2 = 0\)。

2. 序列二次规划（SQP）子问题构建

  • 在当前点 \(x^{(k)}\)，构建拉格朗日函数 \(L(x, \lambda) = f(x) + \lambda_1 g_1(x) + \lambda_2 g_2(x)\)。
  • 二次规划（QP）子问题为：

\[\min_d \nabla f(x^{(k)})^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d \]

满足 \(\nabla g_i(x^{(k)})^T d + g_i(x^{(k)}) \le 0\)，其中 \(B_k\) 由BFGS更新近似Hessian矩阵。

  • 例如在 \(x^{(0)} = (0,0)\)，梯度 \(\nabla f = (-4, -2)\)，约束梯度 \(\nabla g_1 = (0, -1)\)、\(\nabla g_2 = (1, 1)\)，初始 \(B_0 = I\)。

3. 积极集策略识别有效约束

  • 检查约束违反度：\(g_1(0,0) = 0\)（临界活跃），\(g_2(0,0) = -2\)（非活跃）。
  • 积极集 \(\mathcal{A} = \{1\}\)，仅将 \(g_1\) 纳入当前QP的等式约束处理。

4. 信赖域与过滤器全局收敛控制

  • 设定信赖域半径 \(\Delta_k = 0.5\)，限制步长 \(\|d\| \le \Delta_k\)。
  • 过滤器机制：比较当前点 \((f, h)\) 和新试探点 \((f^+, h^+)\)（其中 \(h\) 为约束违反度），若 \(f^+ < f\) 或 \(h^+ < h\)，接受迭代；否则缩小信赖域。

5. 自适应屏障与增广拉格朗日结合

  • 将不等式约束 \(g_i(x) \le 0\) 转换为屏障项：

\[\min f(x) - \mu \sum_i \ln(-g_i(x)) \]

但为避免边界冲突，与增广拉格朗日结合：

\[\min f(x) + \frac{\rho}{2} \sum_i \left[ \max(0, \lambda_i / \rho + g_i(x)) \right]^2 - \mu \sum_{i \in \mathcal{I}} \ln(-g_i(x)) \]

其中 \(\mathcal{I}\) 为严格可行约束下标。

6. 代理模型与梯度投影辅助

  • 若无解析梯度，使用代理模型（如二次插值）近似梯度。本例中梯度已知，跳过此步。
  • 梯度投影用于处理简单界约束（本题无界约束，故不激活）。

7. 交替方向乘子法（ADMM）分解复杂子问题

  • 若问题可分解为 \(\min f_1(x_1) + f_2(x_2)\)，用ADMM交替优化。本例不可分，但可将屏障项和二次惩罚项分拆，交替更新 \(x\) 和乘子 \(\lambda\)：
    • \(x\)-更新：求解带屏障的SQP子问题；
    • \(\lambda\)-更新：\(\lambda_i \leftarrow \max(0, \lambda_i + \rho g_i(x))\)。

8. 逐步凸逼近与动态隧道法

  • 在SQP中，QP子问题是原问题的凸近似，保证局部收敛。
  • 动态隧道法：若陷入局部极小 \(x^*\)，定义隧道函数 \(T(x) = f(x) - \eta \|x - x^*\|^{-1}\)，逃离当前极小点。

9. 填充函数法全局辅助

  • 构造填充函数 \(P(x, x^*) = \exp(-\|x - x^*\|^2)\)，在 \(x^*\) 处最小化 \(P\) 以找到更低谷点。

10. 迭代收敛检查

  • 收敛条件：KKT条件残差 \(\|\nabla L\| < 10^{-6}\) 且约束违反度 \(h < 10^{-6}\)。
  • 每步更新参数：\(\mu \leftarrow 0.7\mu\)（屏障衰减），\(\rho \leftarrow 1.2\rho\)（惩罚增强）。

示例迭代步骤（k=0）

  1. 计算梯度与约束，构建QP子问题。
  2. 求解QP得方向 \(d = (0.2, 0.1)\)，步长受 \(\Delta_0 = 0.5\) 限制。
  3. 试探点 \(x^+ = (0.2, 0.1)\)，\(f^+ = 4.65\)，\(h^+ = 0\)（因 \(g_1 = -0.09 \le 0, g_2 = -1.7 \le 0\)）。
  4. 过滤器接受该点（目标值下降，约束可行）。
  5. 更新乘子：\(\lambda_1 = \max(0, 0 + 1 \cdot (-0.09)) = 0\)，屏障参数 \(\mu\) 保持不变。
  6. 进入下一次迭代，直至收敛到最优解 \(x^* \approx (1, 1)\)，\(f^* = 1\)。

此混合框架通过组件协作平衡全局收敛与局部效率，适应复杂约束场景。

非线性规划中的序列二次规划-乘子法-积极集-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-梯度投影-混合整数规划-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题 题目描述 考虑如下非线性规划问题： \[ \min f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \] 满足约束： \[ g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \le 0, \quad g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \le 0. \] 要求使用一种混合优化策略，结合序列二次规划（SQP）、乘子法、积极集筛选、过滤器接受机制、信赖域全局收敛控制、自适应屏障处理不等式约束、代理模型辅助梯度计算、梯度投影处理简单界约束（若存在）、混合整数规划处理离散变量（若存在）、交替方向乘子法（ADMM）分解子问题、逐步凸逼近局部简化、动态隧道法逃离局部极小、填充函数法辅助全局搜索、松弛变量法处理等式约束（若存在）、增广拉格朗日法强化约束稳定性。本题需在混合框架下逐步求解，并详细说明每个组件的协作流程。 解题过程 1. 问题重构与初始化 原问题为连续变量问题，无离散变量或等式约束，因此混合整数规划与松弛变量法暂不激活。 初始点设为 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，计算初始目标值 \( f(x^{(0)}) = 5 \) 和约束违反度 \( \max(0, g_ 1(x), g_ 2(x)) = 0 \)。 自适应屏障参数设为 \( \mu = 10 \)，增广拉格朗日惩罚参数 \( \rho = 1 \，乘子初始值 \( \lambda_ 1 = \lambda_ 2 = 0 \)。 2. 序列二次规划（SQP）子问题构建 在当前点 \( x^{(k)} \)，构建拉格朗日函数 \( L(x, \lambda) = f(x) + \lambda_ 1 g_ 1(x) + \lambda_ 2 g_ 2(x) \)。 二次规划（QP）子问题为： \[ \min_ d \nabla f(x^{(k)})^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d \] 满足 \( \nabla g_ i(x^{(k)})^T d + g_ i(x^{(k)}) \le 0 \)，其中 \( B_ k \) 由BFGS更新近似Hessian矩阵。 例如在 \( x^{(0)} = (0,0) \)，梯度 \( \nabla f = (-4, -2) \)，约束梯度 \( \nabla g_ 1 = (0, -1) \)、\( \nabla g_ 2 = (1, 1) \)，初始 \( B_ 0 = I \)。 3. 积极集策略识别有效约束 检查约束违反度：\( g_ 1(0,0) = 0 \)（临界活跃），\( g_ 2(0,0) = -2 \)（非活跃）。 积极集 \( \mathcal{A} = \{1\} \)，仅将 \( g_ 1 \) 纳入当前QP的等式约束处理。 4. 信赖域与过滤器全局收敛控制 设定信赖域半径 \( \Delta_ k = 0.5 \)，限制步长 \( \|d\| \le \Delta_ k \)。 过滤器机制：比较当前点 \( (f, h) \) 和新试探点 \( (f^+, h^+) \)（其中 \( h \) 为约束违反度），若 \( f^+ < f \) 或 \( h^+ < h \)，接受迭代；否则缩小信赖域。 5. 自适应屏障与增广拉格朗日结合 将不等式约束 \( g_ i(x) \le 0 \) 转换为屏障项： \[ \min f(x) - \mu \sum_ i \ln(-g_ i(x)) \] 但为避免边界冲突，与增广拉格朗日结合： \[ \min f(x) + \frac{\rho}{2} \sum_ i \left[ \max(0, \lambda_ i / \rho + g_ i(x)) \right]^2 - \mu \sum_ {i \in \mathcal{I}} \ln(-g_ i(x)) \] 其中 \( \mathcal{I} \) 为严格可行约束下标。 6. 代理模型与梯度投影辅助 若无解析梯度，使用代理模型（如二次插值）近似梯度。本例中梯度已知，跳过此步。 梯度投影用于处理简单界约束（本题无界约束，故不激活）。 7. 交替方向乘子法（ADMM）分解复杂子问题 若问题可分解为 \( \min f_ 1(x_ 1) + f_ 2(x_ 2) \)，用ADMM交替优化。本例不可分，但可将屏障项和二次惩罚项分拆，交替更新 \( x \) 和乘子 \( \lambda \)： \( x \)-更新：求解带屏障的SQP子问题； \( \lambda \)-更新：\( \lambda_ i \leftarrow \max(0, \lambda_ i + \rho g_ i(x)) \)。 8. 逐步凸逼近与动态隧道法 在SQP中，QP子问题是原问题的凸近似，保证局部收敛。 动态隧道法：若陷入局部极小 \( x^* \)，定义隧道函数 \( T(x) = f(x) - \eta \|x - x^* \|^{-1} \)，逃离当前极小点。 9. 填充函数法全局辅助 构造填充函数 \( P(x, x^ ) = \exp(-\|x - x^ \|^2) \)，在 \( x^* \) 处最小化 \( P \) 以找到更低谷点。 10. 迭代收敛检查 收敛条件：KKT条件残差 \( \|\nabla L\| < 10^{-6} \) 且约束违反度 \( h < 10^{-6} \)。 每步更新参数：\( \mu \leftarrow 0.7\mu \)（屏障衰减），\( \rho \leftarrow 1.2\rho \)（惩罚增强）。 示例迭代步骤（k=0） 计算梯度与约束，构建QP子问题。 求解QP得方向 \( d = (0.2, 0.1) \)，步长受 \( \Delta_ 0 = 0.5 \) 限制。 试探点 \( x^+ = (0.2, 0.1) \)，\( f^+ = 4.65 \)，\( h^+ = 0 \)（因 \( g_ 1 = -0.09 \le 0, g_ 2 = -1.7 \le 0 \)）。 过滤器接受该点（目标值下降，约束可行）。 更新乘子：\( \lambda_ 1 = \max(0, 0 + 1 \cdot (-0.09)) = 0 \)，屏障参数 \( \mu \) 保持不变。 进入下一次迭代，直至收敛到最优解 \( x^* \approx (1, 1) \)，\( f^* = 1 \)。 此混合框架通过组件协作平衡全局收敛与局部效率，适应复杂约束场景。