高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的变量替换技巧

字数 2349 2025-11-08 10:02:46

高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的变量替换技巧

题目描述

计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

其中 \(f(x)\) 是光滑函数，但被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 处具有 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 的奇异性。直接使用标准高斯-勒让德求积公式会因端点奇异性导致精度下降，需通过变量替换消除奇异性后再应用求积公式。

解题步骤

1. 分析奇异性来源

被积函数中的权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在 \(x \to \pm 1\) 时发散，但该权函数恰为第一类切比雪夫多项式的正交权函数。因此，若直接使用高斯-切比雪夫求积公式可精确处理此类积分。但题目要求使用高斯-勒让德公式，故需通过变量替换将奇异性消除。

2. 变量替换设计

令

\[x = \cos \theta, \quad dx = -\sin \theta \, d\theta \]

当 \(x\) 从 \(-1\) 到 \(1\) 时，\(\theta\) 从 \(\pi\) 到 \(0\)。代入原积分：

\[I = \int_{\pi}^{0} \frac{f(\cos \theta)}{\sqrt{1-\cos^2 \theta}} (-\sin \theta) \, d\theta = \int_{0}^{\pi} f(\cos \theta) \, d\theta \]

关键点：

\(\sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sin \theta\)（在 \([0, \pi]\) 上非负），与 \(dx\) 中的 \(-\sin \theta\) 抵消。
奇异性被完全消除，积分转化为对 \(\theta\) 在 \([0, \pi]\) 上的普通积分。

3. 调整积分区间

高斯-勒让德公式适用于区间 \([-1, 1]\)，需将 \(\theta \in [0, \pi]\) 映射到 \([-1, 1]\)。令

\[\theta = \frac{\pi}{2} (t + 1), \quad d\theta = \frac{\pi}{2} dt \]

则

\[I = \int_{-1}^{1} f\left( \cos \left( \frac{\pi}{2}(t+1) \right) \right) \cdot \frac{\pi}{2} \, dt \]

记 \(g(t) = \frac{\pi}{2} f\left( \cos \left( \frac{\pi}{2}(t+1) \right) \right)\)，积分化为

\[I = \int_{-1}^{1} g(t) \, dt \]

4. 应用高斯-勒让德求积公式

对 \(I\) 使用 \(n\) 点高斯-勒让德公式：

\[I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i^{\text{GL}} \cdot g(t_i^{\text{GL}}) \]

其中 \(t_i^{\text{GL}}\) 和 \(w_i^{\text{GL}}\) 为勒让德节点和权重。

5. 误差分析

原积分通过变量替换消除了奇异性，若 \(f(x)\) 光滑，则 \(g(t)\) 也光滑。
高斯-勒让德公式对光滑函数具有指数级收敛速度，远优于直接对奇异函数使用同一公式。
误差主要来源于高斯-勒让德公式的截断误差，与 \(f(x)\) 的高阶导数相关。

6. 示例验证

设 \(f(x) = x^2\)，则精确解为

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\pi}{2} \]

通过变量替换：

\[g(t) = \frac{\pi}{2} \left[ \cos \left( \frac{\pi}{2}(t+1) \right) \right]^2 \]

使用 \(n=2\) 的高斯-勒让德公式（节点 \(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)，权重均为 1）：

\(g\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{2} \cos^2\left( \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \right)\)
\(g\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{2} \cos^2\left( \pi - \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{2} \cos^2\left( \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \right)\)
求和得 \(I \approx \pi \cos^2\left( \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \right) \approx 1.5708\)，与精确值 \(\frac{\pi}{2} \approx 1.5708\) 一致。

总结

通过变量替换 \(x = \cos \theta\) 将端点奇异性转化为光滑积分，再调整区间应用高斯-勒让德公式，可有效处理带端点奇异性的积分。此方法的核心是利用恒等变换消去权函数的奇异性，避免直接数值计算的稳定性问题。

高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的变量替换技巧题目描述计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 其中 \( f(x) \) 是光滑函数，但被积函数在端点 \( x = \pm 1 \) 处具有 \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) 的奇异性。直接使用标准高斯-勒让德求积公式会因端点奇异性导致精度下降，需通过变量替换消除奇异性后再应用求积公式。解题步骤 1. 分析奇异性来源被积函数中的权函数 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) 在 \( x \to \pm 1 \) 时发散，但该权函数恰为第一类切比雪夫多项式的正交权函数。因此，若直接使用高斯-切比雪夫求积公式可精确处理此类积分。但题目要求使用高斯-勒让德公式，故需通过变量替换将奇异性消除。 2. 变量替换设计令 \[ x = \cos \theta, \quad dx = -\sin \theta \, d\theta \] 当 \( x \) 从 \( -1 \) 到 \( 1 \) 时，\( \theta \) 从 \( \pi \) 到 \( 0 \)。代入原积分： \[ I = \int_ {\pi}^{0} \frac{f(\cos \theta)}{\sqrt{1-\cos^2 \theta}} (-\sin \theta) \, d\theta = \int_ {0}^{\pi} f(\cos \theta) \, d\theta \] 关键点： \( \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sin \theta \)（在 \( [ 0, \pi ] \) 上非负），与 \( dx \) 中的 \( -\sin \theta \) 抵消。奇异性被完全消除，积分转化为对 \( \theta \) 在 \( [ 0, \pi ] \) 上的普通积分。 3. 调整积分区间高斯-勒让德公式适用于区间 \( [ -1, 1] \)，需将 \( \theta \in [ 0, \pi] \) 映射到 \( [ -1, 1 ] \)。令 \[ \theta = \frac{\pi}{2} (t + 1), \quad d\theta = \frac{\pi}{2} dt \] 则 \[ I = \int_ {-1}^{1} f\left( \cos \left( \frac{\pi}{2}(t+1) \right) \right) \cdot \frac{\pi}{2} \, dt \] 记 \( g(t) = \frac{\pi}{2} f\left( \cos \left( \frac{\pi}{2}(t+1) \right) \right) \)，积分化为 \[ I = \int_ {-1}^{1} g(t) \, dt \] 4. 应用高斯-勒让德求积公式对 \( I \) 使用 \( n \) 点高斯-勒让德公式： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i^{\text{GL}} \cdot g(t_ i^{\text{GL}}) \] 其中 \( t_ i^{\text{GL}} \) 和 \( w_ i^{\text{GL}} \) 为勒让德节点和权重。 5. 误差分析原积分通过变量替换消除了奇异性，若 \( f(x) \) 光滑，则 \( g(t) \) 也光滑。高斯-勒让德公式对光滑函数具有指数级收敛速度，远优于直接对奇异函数使用同一公式。误差主要来源于高斯-勒让德公式的截断误差，与 \( f(x) \) 的高阶导数相关。 6. 示例验证设 \( f(x) = x^2 \)，则精确解为 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\pi}{2} \] 通过变量替换： \[ g(t) = \frac{\pi}{2} \left[ \cos \left( \frac{\pi}{2}(t+1) \right) \right ]^2 \] 使用 \( n=2 \) 的高斯-勒让德公式（节点 \( \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)，权重均为 1）： \( g\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{2} \cos^2\left( \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \right) \) \( g\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{2} \cos^2\left( \pi - \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{2} \cos^2\left( \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \right) \) 求和得 \( I \approx \pi \cos^2\left( \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \right) \approx 1.5708 \)，与精确值 \( \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 \) 一致。总结通过变量替换 \( x = \cos \theta \) 将端点奇异性转化为光滑积分，再调整区间应用高斯-勒让德公式，可有效处理带端点奇异性的积分。此方法的核心是利用恒等变换消去权函数的奇异性，避免直接数值计算的稳定性问题。