高斯-勒让德求积公式在带边界层函数积分中的变量替换技巧
题目描述：
计算积分
\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx, \]
其中被积函数 \(f(x)\) 在区间端点附近存在边界层（即函数在端点处变化剧烈，例如 \(f(x) = e^{-x/\varepsilon}\) 或 \(f(x) = \tanh(x/\varepsilon)\)，且 \(\varepsilon \ll 1\)）。直接使用高斯-勒让德求积公式会因节点在端点附近分布稀疏而导致精度不足，需通过变量替换将边界层“拉伸”以提高计算效率。
解题步骤：
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问题分析
- 高斯-勒让德求积公式在区间 \([-1, 1]\) 上具有高精度，但其节点在端点处分布稀疏（如 \(n\) 个节点的位置为勒让德多项式的根）。
- 若 \(f(x)\) 在端点附近变化剧烈（边界层），直接采样可能忽略边界层细节，导致积分误差较大。
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变量替换策略
引入单调可微的变量替换 \(x = g(t)\)，将原积分变换为：
\[ I = \int_{-1}^{1} f(g(t)) \, g'(t) \, dt. \]
选择 \(g(t)\) 使得新被积函数 \(F(t) = f(g(t)) g'(t)\) 在 \(t\)-空间中变化平缓，从而更适合高斯-勒让德求积。
- 常用替换函数
- 双曲正切替换（适用于对称边界层）：
\[ x = \tanh\left(\frac{t}{\delta}\right), \quad g'(t) = \frac{1}{\delta} \operatorname{sech}^2\left(\frac{t}{\delta}\right), \]
其中 $ \delta $ 为边界层厚度参数（通常取 $ \delta \sim \varepsilon $）。此替换将 $ t \in (-\infty, +\infty) $ 映射到 $ x \in (-1, 1) $，并在 $ x \approx \pm 1 $ 处加密采样。
- 对数函数替换（适用于非对称边界层）：
例如，若边界层仅在 \(x=1\) 处，可采用：
\[ x = 1 - (1-t)^\alpha \quad (\alpha > 1), \quad g'(t) = \alpha (1-t)^{\alpha-1}, \]
通过调节 $ \alpha $ 控制节点在边界附近的聚集程度。
- 实施步骤
- 步骤1：根据边界层特性选择替换函数 \(g(t)\) 和参数（如 \(\delta\) 或 \(\alpha\)）。
- 步骤2：将积分区间映射到 \([-1, 1]\)（若替换后区间无穷，需截断为有限区间，并确保截断误差可忽略）。
- 步骤3：对新积分 \(\int_{-1}^{1} F(t) \, dt\) 应用高斯-勒让德求积公式：
\[ I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i F(t_i) = \sum_{i=1}^{n} w_i f(g(t_i)) g'(t_i), \]
其中 $ t_i, w_i $ 为 $ n $ 阶高斯-勒让德求积的节点和权重。
- 误差控制
- 替换后需保证 \(F(t)\) 足够光滑，否则仍需增加节点数 \(n\)。
- 可通过比较不同 \(n\) 或不同替换参数的结果，验证数值稳定性。
示例：
设 \(f(x) = e^{-(1-x)/\varepsilon}\)，边界层在 \(x=1\) 处。选取替换 \(x = 1 - (1-t)^2\)，则：
\[I = \int_{-1}^{1} e^{-(1-x)/\varepsilon} dx = \int_{-1}^{1} e^{-(1-t)^2/\varepsilon} \cdot 2(1-t) \, dt. \]
新被积函数在 \(t\)-空间中被“拉伸”，边界层影响减弱，再用高斯-勒让德求积即可显著提升精度。
总结：变量替换是处理边界层问题的有效技巧，关键在于通过函数映射将原积分的奇异性或剧烈变化区域转化为平滑区域，从而充分发挥高斯求积公式的高精度特性。