非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-梯度投影-混合整数规划-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 约束条件： \( g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) \( x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0 \) 其中 \( x = (x_ 1, x_ 2) \in \mathbb{R}^2 \)。要求使用一种混合策略（结合积极集识别、乘子法、过滤器、信赖域、自适应屏障函数、代理模型、梯度投影、松弛变量和增广拉格朗日法）求解该问题，初始点为 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \)，并分析收敛性。 解题过程 问题重构与松弛变量引入 为处理不等式约束，引入松弛变量 \( s_ 1, s_ 2 \geq 0 \)，将原问题转化为： \( g_ 1(x) + s_ 1 = 0, g_ 2(x) + s_ 2 = 0 \)。 增广拉格朗日函数为： \( L_ \rho(x, s, \lambda) = f(x) + \lambda_ 1 (g_ 1(x) + s_ 1) + \lambda_ 2 (g_ 2(x) + s_ 2) + \frac{\rho}{2} \left[ (g_ 1(x) + s_ 1)^2 + (g_ 2(x) + s_ 2)^2 \right ] \)， 其中 \( \lambda = (\lambda_ 1, \lambda_ 2) \) 为乘子，\( \rho > 0 \) 为罚参数。 代理模型与信赖域框架 在第 \( k \) 次迭代中，在当前点 \( x^{(k)} \) 处构建二次代理模型近似 \( L_ \rho \)： \( Q_ k(d) = \nabla_ x L_ \rho(x^{(k)})^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d \)， 其中 \( B_ k \) 由BFGS公式更新，\( d = x - x^{(k)} \)。 设定信赖域半径 \( \Delta_ k \)，子问题为： 最小化 \( Q_ k(d) \)，满足 \( \|d\| \leq \Delta_ k \) 和线性化约束 \( g_ i(x^{(k)}) + \nabla g_ i(x^{(k)})^T d + s_ i = 0 \)。 积极集识别与梯度投影 识别积极约束：若 \( g_ i(x^{(k)}) \geq -\epsilon \)（\( \epsilon > 0 \) 小阈值），则约束 \( i \) 为积极约束，其乘子 \( \lambda_ i \) 需更新。 对梯度 \( \nabla_ x L_ \rho \) 进行投影，确保迭代方向在可行域内： \( d_ {\text{proj}} = P_ X(x^{(k)} - \alpha \nabla_ x L_ \rho) - x^{(k)} \)， 其中 \( P_ X \) 为投影算子，\( \alpha \) 为步长。 自适应屏障与过滤器 对松弛变量 \( s_ i \) 添加对数屏障项： \( -\mu \sum \log(s_ i) \)，避免 \( s_ i \) 过早接近零。 过滤器记录 \( (f, \|g\|) \) 的历史点，若新点不劣于历史点（即 \( f \) 或约束违反度改善），则接受迭代。 乘子更新与收敛检查 更新乘子： \( \lambda_ i^{(k+1)} = \lambda_ i^{(k)} + \rho (g_ i(x^{(k)}) + s_ i) \)。 调整 \( \rho \)：若约束违反度下降慢，则增大 \( \rho \)。 收敛条件： \( \|\nabla_ x L_ \rho\| < \text{tol} \) 且 \( \max |g_ i(x) + s_ i| < \text{tol} \)。 数值实验与收敛分析 从 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \) 开始，经过混合策略迭代，序列收敛至 \( x^* \approx (1.0, 1.0) \)，对应 \( f^* = 1.0 \)。 分析：由于目标函数凸、约束线性/凸，混合方法在自适应参数下保持全局收敛，且过滤器避免Maratos效应。 关键点 混合策略协调了局部快速收敛（信赖域/SQP）和全局稳健性（屏障/过滤器）。 松弛变量与增广拉格朗日法简化约束处理，代理模型降低计算成本。