因子分解机（Factorization Machines）算法的原理与计算过程
字数 2292 2025-11-08 10:02:46

因子分解机（Factorization Machines）算法的原理与计算过程

题目描述
因子分解机（Factorization Machines, FM）是一种监督学习算法，适用于高维稀疏数据（如推荐系统、点击率预测等场景）。FM通过引入特征交叉的隐向量内积，将支持向量机的通用性与矩阵分解的隐因子思想结合，能高效建模二阶特征交互，解决数据稀疏下的参数估计问题。要求：详细讲解FM的模型形式、参数计算及训练过程。

1. 问题背景与模型动机
在高维稀疏数据中（例如用户-物品交互矩阵），直接学习特征间的交互权重面临挑战：

  • 传统线性模型（如逻辑回归）无法捕获特征交互（如“用户A喜欢电影B”这一组合效应）。
  • 二阶多项式模型需学习所有特征对的权重 \(w_{ij}\)，参数量为 \(O(n^2)\)，且稀疏数据下很多 \(w_{ij}\) 缺乏样本估计。

FM的解决方案：

  • 将每个特征 \(x_i\) 关联一个隐向量 \(v_i \in \mathbb{R}^k\)（\(k\) 为隐向量维度）。
  • 用隐向量的内积 \(\langle v_i, v_j \rangle\) 模拟特征交互权重 \(w_{ij}\)，参数量降至 \(O(k \cdot n)\)。

2. FM模型数学形式
FM的预测函数为：

\[\hat{y}(x) = w_0 + \sum_{i=1}^{n} w_i x_i + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} \langle v_i, v_j \rangle x_i x_j \]

其中：

  • \(w_0\)：全局偏置。
  • \(w_i\)：特征 \(i\) 的一阶权重。
  • \(v_i = [v_{i1}, v_{i2}, ..., v_{ik}]\)：特征 \(i\) 的隐向量。
  • 交互项仅计算 \(j>i\) 避免重复。

隐向量内积的意义：

  • 若特征 \(i\) 和 \(j\) 从未共同出现，仍可通过其他特征对 \(v_i\) 和 \(v_j\) 的更新间接估计交互权重。
  • 例如，用户特征和物品特征可通过交互过的中间特征（如电影类型）传递信息。

3. 交互项的计算优化
直接计算二阶项复杂度为 \(O(kn^2)\)，但可通过重构降至 \(O(kn)\)：

\[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} \langle v_i, v_j \rangle x_i x_j = \frac{1}{2} \sum_{f=1}^{k} \left[ \left( \sum_{i=1}^{n} v_{if} x_i \right)^2 - \sum_{i=1}^{n} v_{if}^2 x_i^2 \right] \]

推导过程：

  1. 展开交互项：

\[\sum_{i,j} \langle v_i, v_j \rangle x_i x_j = \sum_{f=1}^{k} \left( \sum_{i=1}^{n} v_{if} x_i \right) \left( \sum_{j=1}^{n} v_{jf} x_j \right) - \sum_{f=1}^{k} \sum_{i=1}^{n} v_{if}^2 x_i^2 \]

  1. 第一项是平方和，包含 \(i=j\) 的项，需减去第二项（对角项）。
  2. 因交互项仅需 \(i \neq j\)，再除以2消除重复对。

计算步骤：

  • 对每个隐维度 \(f\)，计算 \(\sum_i v_{if} x_i\)（复杂度 \(O(n)\)）。
  • 平方后减去 \(\sum_i v_{if}^2 x_i^2\)，求和 over \(f\)（复杂度 \(O(kn)\)）。

4. 参数学习与训练
使用梯度下降优化损失函数（如均方误差或交叉熵）。

梯度计算（以回归问题为例，损失函数为 \(L = \frac{1}{2}(\hat{y} - y)^2\)）：

  • 全局偏置 \(w_0\)：

\[ \frac{\partial L}{\partial w_0} = (\hat{y} - y) \]

  • 一阶权重 \(w_i\)：

\[ \frac{\partial L}{\partial w_i} = (\hat{y} - y) x_i \]

  • 隐向量 \(v_{if}\)：

\[ \frac{\partial L}{\partial v_{if}} = (\hat{y} - y) \cdot x_i \left( \sum_{j=1}^{n} v_{jf} x_j - v_{if} x_i \right) \]

其中 \(\sum_j v_{jf} x_j\) 已在前述优化计算中缓存，无需重复计算。

训练流程：

  1. 初始化参数 \(w_0, w_i, v_{if}\)（通常用随机小值）。
  2. 对每个样本 \(x\)：
    • 计算预测值 \(\hat{y}(x)\)（使用优化后的二阶项计算）。
    • 计算损失梯度，更新参数。
  3. 迭代至收敛。

5. 扩展与特点

  • 高阶FM：可扩展至更高阶交互（计算复杂度增加）。
  • 与矩阵分解关系：若输入仅用户ID和物品ID，FM退化为传统矩阵分解模型。
  • 优势：处理稀疏数据、泛化性强、线性计算复杂度。

通过上述步骤，FM将特征交互建模转化为隐向量学习，兼顾模型表现与计算效率。

因子分解机（Factorization Machines）算法的原理与计算过程 题目描述 因子分解机（Factorization Machines, FM）是一种监督学习算法，适用于高维稀疏数据（如推荐系统、点击率预测等场景）。FM通过引入特征交叉的隐向量内积，将支持向量机的通用性与矩阵分解的隐因子思想结合，能高效建模二阶特征交互，解决数据稀疏下的参数估计问题。要求：详细讲解FM的模型形式、参数计算及训练过程。 1. 问题背景与模型动机 在高维稀疏数据中（例如用户-物品交互矩阵），直接学习特征间的交互权重面临挑战： 传统线性模型（如逻辑回归）无法捕获特征交互（如“用户A喜欢电影B”这一组合效应）。 二阶多项式模型需学习所有特征对的权重 \(w_ {ij}\)，参数量为 \(O(n^2)\)，且稀疏数据下很多 \(w_ {ij}\) 缺乏样本估计。 FM的解决方案： 将每个特征 \(x_ i\) 关联一个隐向量 \(v_ i \in \mathbb{R}^k\)（\(k\) 为隐向量维度）。 用隐向量的内积 \(\langle v_ i, v_ j \rangle\) 模拟特征交互权重 \(w_ {ij}\)，参数量降至 \(O(k \cdot n)\)。 2. FM模型数学形式 FM的预测函数为： \[ \hat{y}(x) = w_ 0 + \sum_ {i=1}^{n} w_ i x_ i + \sum_ {i=1}^{n} \sum_ {j=i+1}^{n} \langle v_ i, v_ j \rangle x_ i x_ j \] 其中： \(w_ 0\)：全局偏置。 \(w_ i\)：特征 \(i\) 的一阶权重。 \(v_ i = [ v_ {i1}, v_ {i2}, ..., v_ {ik} ]\)：特征 \(i\) 的隐向量。 交互项仅计算 \(j>i\) 避免重复。 隐向量内积的意义 ： 若特征 \(i\) 和 \(j\) 从未共同出现，仍可通过其他特征对 \(v_ i\) 和 \(v_ j\) 的更新间接估计交互权重。 例如，用户特征和物品特征可通过交互过的中间特征（如电影类型）传递信息。 3. 交互项的计算优化 直接计算二阶项复杂度为 \(O(kn^2)\)，但可通过重构降至 \(O(kn)\)： \[ \sum_ {i=1}^{n} \sum_ {j=i+1}^{n} \langle v_ i, v_ j \rangle x_ i x_ j = \frac{1}{2} \sum_ {f=1}^{k} \left[ \left( \sum_ {i=1}^{n} v_ {if} x_ i \right)^2 - \sum_ {i=1}^{n} v_ {if}^2 x_ i^2 \right ] \] 推导过程 ： 展开交互项： \[ \sum_ {i,j} \langle v_ i, v_ j \rangle x_ i x_ j = \sum_ {f=1}^{k} \left( \sum_ {i=1}^{n} v_ {if} x_ i \right) \left( \sum_ {j=1}^{n} v_ {jf} x_ j \right) - \sum_ {f=1}^{k} \sum_ {i=1}^{n} v_ {if}^2 x_ i^2 \] 第一项是平方和，包含 \(i=j\) 的项，需减去第二项（对角项）。 因交互项仅需 \(i \neq j\)，再除以2消除重复对。 计算步骤 ： 对每个隐维度 \(f\)，计算 \(\sum_ i v_ {if} x_ i\)（复杂度 \(O(n)\)）。 平方后减去 \(\sum_ i v_ {if}^2 x_ i^2\)，求和 over \(f\)（复杂度 \(O(kn)\)）。 4. 参数学习与训练 使用梯度下降优化损失函数（如均方误差或交叉熵）。 梯度计算 （以回归问题为例，损失函数为 \(L = \frac{1}{2}(\hat{y} - y)^2\)）： 全局偏置 \(w_ 0\)： \[ \frac{\partial L}{\partial w_ 0} = (\hat{y} - y) \] 一阶权重 \(w_ i\)： \[ \frac{\partial L}{\partial w_ i} = (\hat{y} - y) x_ i \] 隐向量 \(v_ {if}\)： \[ \frac{\partial L}{\partial v_ {if}} = (\hat{y} - y) \cdot x_ i \left( \sum_ {j=1}^{n} v_ {jf} x_ j - v_ {if} x_ i \right) \] 其中 \(\sum_ j v_ {jf} x_ j\) 已在前述优化计算中缓存，无需重复计算。 训练流程 ： 初始化参数 \(w_ 0, w_ i, v_ {if}\)（通常用随机小值）。 对每个样本 \(x\)： 计算预测值 \(\hat{y}(x)\)（使用优化后的二阶项计算）。 计算损失梯度，更新参数。 迭代至收敛。 5. 扩展与特点 高阶FM ：可扩展至更高阶交互（计算复杂度增加）。 与矩阵分解关系 ：若输入仅用户ID和物品ID，FM退化为传统矩阵分解模型。 优势 ：处理稀疏数据、泛化性强、线性计算复杂度。 通过上述步骤，FM将特征交互建模转化为隐向量学习，兼顾模型表现与计算效率。