高斯-勒让德求积公式在带边界层函数积分中的变量替换技巧

字数 2891 2025-11-08 10:02:46

高斯-勒让德求积公式在带边界层函数积分中的变量替换技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{0}^{1} e^{-x/\varepsilon} \cos(x) \, dx \]

其中 \(\varepsilon > 0\) 是一个极小的参数（例如 \(\varepsilon = 0.01\)）。这类积分在边界层问题中常见，被积函数在积分区间端点 \(x=0\) 附近变化剧烈（边界层），而远离边界层时变化平缓。直接使用高斯-勒让德求积公式需要大量节点才能捕捉边界层行为。要求通过变量替换技巧，将原积分变换为更适合高斯-勒让德公式计算的形式。

解题过程

1. 问题分析

当 \(\varepsilon \ll 1\) 时，指数项 \(e^{-x/\varepsilon}\) 在 \(x=0\) 附近急剧衰减（边界层厚度约 \(\varepsilon\)），而 \(\cos(x)\) 变化相对缓慢。
直接应用高斯-勒让德公式需在边界层内密集布点，否则误差较大，但节点数增加会降低效率。
目标：通过变量替换拉伸边界层区域，使被积函数在新变量下变化更平缓。

2. 变量替换的构造

核心思想：选择单调可微函数 \(x = \phi(t)\)，将原积分变为

\[ I = \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt. \]

理想替换应使新被积函数 \(f(\phi(t)) \phi'(t)\) 在整个区间上变化均匀。
针对边界层问题，常用对数拉伸或指数拉伸。此处选择：

\[ x = -\varepsilon \ln(1 - t), \quad t \in [0, 1) \]

但需注意 \(t=1\) 对应 \(x \to \infty\)，而原积分上限为 \(1\)。因此需调整为有限区间映射。

3. 具体替换步骤

令 \(x = -\varepsilon \ln(1 - t)\)，则：
- 当 \(t=0\) 时，\(x=0\)；当 \(t \to 1^-\) 时，\(x \to +\infty\)。
- 原积分上限为 \(1\)，需解方程 \(1 = -\varepsilon \ln(1 - t_1)\)，得 \(t_1 = 1 - e^{-1/\varepsilon}\)。
- 导数 \(\frac{dx}{dt} = \frac{\varepsilon}{1 - t}\)。
替换后积分变为：

\[ I = \int_{0}^{t_1} e^{-(-\varepsilon \ln(1-t))/\varepsilon} \cos(-\varepsilon \ln(1-t)) \cdot \frac{\varepsilon}{1-t} \, dt. \]

简化指数项：\(e^{-x/\varepsilon} = e^{\ln(1-t)} = 1-t\)，因此：

\[ I = \varepsilon \int_{0}^{t_1} \cos(-\varepsilon \ln(1-t)) \, dt. \]

问题：新积分上限 \(t_1 = 1 - e^{-1/\varepsilon}\) 极接近 \(1\)（例如 \(\varepsilon=0.01\) 时 \(t_1 \approx 0.9999546\)），且被积函数在 \(t \to 1^-\) 时振荡加剧（因 \(\ln(1-t) \to -\infty\)）。此替换不理想。

4. 改进替换方案

采用分段策略：将积分拆分为边界层区域 \([0, \delta]\) 和平滑区域 \([\delta, 1]\)，其中 \(\delta\) 略大于边界层厚度（如 \(\delta = 5\varepsilon\)）。
在 \([0, \delta]\) 上使用拉伸替换，在 \([\delta, 1]\) 上直接积分。
边界层区间替换：令 \(x = \delta t\)（线性缩放）或更精细的指数替换 \(x = -\varepsilon \ln(1 - t)\)，但需调整映射至 \([0, \delta]\)。
实用方案：令 \(x = \delta \cdot (1 - e^{-t/\varepsilon}) / (1 - e^{-\delta/\varepsilon})\)，但计算复杂。简化版用 \(x = \delta t\)，则：

\[ I_1 = \int_{0}^{\delta} e^{-x/\varepsilon} \cos(x) \, dx = \delta \int_{0}^{1} e^{-(\delta t)/\varepsilon} \cos(\delta t) \, dt. \]

此时被积函数在 \(t \in [0,1]\) 上平滑（因 \(\delta\) 小，指数衰减已缓和）。

平滑区间 \(I_2 = \int_{\delta}^{1} e^{-x/\varepsilon} \cos(x) \, dx\) 可直接用高斯-勒让德公式。

5. 数值实现要点

拆分点 \(\delta\) 选为 \(5\varepsilon\)（覆盖 \(e^{-5} \approx 0.0067\) 的衰减）。
对 \(I_1\) 和 \(I_2\) 分别应用 \(n\) 点高斯-勒让德公式（如 \(n=10\)）：
- \(I_1 \approx \delta \sum_{i=1}^n w_i e^{-\delta t_i/\varepsilon} \cos(\delta t_i)\)，其中 \(t_i\) 和 \(w_i\) 为 \([-1,1]\) 上节点和权重映射到 \([0,1]\) 的结果。
- \(I_2 \approx \frac{1-\delta}{2} \sum_{i=1}^n w_i e^{-x_i/\varepsilon} \cos(x_i)\)，其中 \(x_i = \delta + \frac{1-\delta}{2}(1 + \xi_i)\)（\(\xi_i\) 为 \([-1,1]\) 上节点）。
总积分 \(I \approx I_1 + I_2\).

6. 误差与优势

变量替换后，各子区间被积函数更平滑，高斯-勒让德公式可用较少节点达到高精度。
对比直接积分：当 \(\varepsilon=0.01\) 时，直接法需约 \(100\) 节点捕捉边界层，而分段法每段用 \(10\) 节点即可，效率提升。
误差主要来自高斯公式的截断误差，而非边界层遗漏。

总结：通过分段积分和边界层区域的变量替换，将剧烈变化函数转化为平滑函数，充分发挥高斯-勒让德公式的高精度特性，显著减少计算成本。

高斯-勒让德求积公式在带边界层函数积分中的变量替换技巧题目描述计算积分 \[ I = \int_ {0}^{1} e^{-x/\varepsilon} \cos(x) \, dx \] 其中 \(\varepsilon > 0\) 是一个极小的参数（例如 \(\varepsilon = 0.01\)）。这类积分在边界层问题中常见，被积函数在积分区间端点 \(x=0\) 附近变化剧烈（边界层），而远离边界层时变化平缓。直接使用高斯-勒让德求积公式需要大量节点才能捕捉边界层行为。要求通过变量替换技巧，将原积分变换为更适合高斯-勒让德公式计算的形式。解题过程 1. 问题分析当 \(\varepsilon \ll 1\) 时，指数项 \(e^{-x/\varepsilon}\) 在 \(x=0\) 附近急剧衰减（边界层厚度约 \(\varepsilon\)），而 \(\cos(x)\) 变化相对缓慢。直接应用高斯-勒让德公式需在边界层内密集布点，否则误差较大，但节点数增加会降低效率。目标：通过变量替换拉伸边界层区域，使被积函数在新变量下变化更平缓。 2. 变量替换的构造核心思想：选择单调可微函数 \(x = \phi(t)\)，将原积分变为 \[ I = \int_ {a}^{b} f(x) \, dx = \int_ {\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt. \] 理想替换应使新被积函数 \(f(\phi(t)) \phi'(t)\) 在整个区间上变化均匀。针对边界层问题，常用对数拉伸或指数拉伸。此处选择： \[ x = -\varepsilon \ln(1 - t), \quad t \in [ 0, 1) \] 但需注意 \(t=1\) 对应 \(x \to \infty\)，而原积分上限为 \(1\)。因此需调整为有限区间映射。 3. 具体替换步骤令 \(x = -\varepsilon \ln(1 - t)\)，则：当 \(t=0\) 时，\(x=0\)；当 \(t \to 1^-\) 时，\(x \to +\infty\)。原积分上限为 \(1\)，需解方程 \(1 = -\varepsilon \ln(1 - t_ 1)\)，得 \(t_ 1 = 1 - e^{-1/\varepsilon}\)。导数 \(\frac{dx}{dt} = \frac{\varepsilon}{1 - t}\)。替换后积分变为： \[ I = \int_ {0}^{t_ 1} e^{-(-\varepsilon \ln(1-t))/\varepsilon} \cos(-\varepsilon \ln(1-t)) \cdot \frac{\varepsilon}{1-t} \, dt. \] 简化指数项：\(e^{-x/\varepsilon} = e^{\ln(1-t)} = 1-t\)，因此： \[ I = \varepsilon \int_ {0}^{t_ 1} \cos(-\varepsilon \ln(1-t)) \, dt. \] 问题：新积分上限 \(t_ 1 = 1 - e^{-1/\varepsilon}\) 极接近 \(1\)（例如 \(\varepsilon=0.01\) 时 \(t_ 1 \approx 0.9999546\)），且被积函数在 \(t \to 1^-\) 时振荡加剧（因 \(\ln(1-t) \to -\infty\)）。此替换不理想。 4. 改进替换方案采用分段策略：将积分拆分为边界层区域 \([ 0, \delta]\) 和平滑区域 \([ \delta, 1 ]\)，其中 \(\delta\) 略大于边界层厚度（如 \(\delta = 5\varepsilon\)）。在 \([ 0, \delta]\) 上使用拉伸替换，在 \([ \delta, 1 ]\) 上直接积分。边界层区间替换：令 \(x = \delta t\)（线性缩放）或更精细的指数替换 \(x = -\varepsilon \ln(1 - t)\)，但需调整映射至 \([ 0, \delta ]\)。实用方案：令 \(x = \delta \cdot (1 - e^{-t/\varepsilon}) / (1 - e^{-\delta/\varepsilon})\)，但计算复杂。简化版用 \(x = \delta t\)，则： \[ I_ 1 = \int_ {0}^{\delta} e^{-x/\varepsilon} \cos(x) \, dx = \delta \int_ {0}^{1} e^{-(\delta t)/\varepsilon} \cos(\delta t) \, dt. \] 此时被积函数在 \(t \in [ 0,1 ]\) 上平滑（因 \(\delta\) 小，指数衰减已缓和）。平滑区间 \(I_ 2 = \int_ {\delta}^{1} e^{-x/\varepsilon} \cos(x) \, dx\) 可直接用高斯-勒让德公式。 5. 数值实现要点拆分点 \(\delta\) 选为 \(5\varepsilon\)（覆盖 \(e^{-5} \approx 0.0067\) 的衰减）。对 \(I_ 1\) 和 \(I_ 2\) 分别应用 \(n\) 点高斯-勒让德公式（如 \(n=10\)）： \(I_ 1 \approx \delta \sum_ {i=1}^n w_ i e^{-\delta t_ i/\varepsilon} \cos(\delta t_ i)\)，其中 \(t_ i\) 和 \(w_ i\) 为 \([ -1,1]\) 上节点和权重映射到 \([ 0,1 ]\) 的结果。 \(I_ 2 \approx \frac{1-\delta}{2} \sum_ {i=1}^n w_ i e^{-x_ i/\varepsilon} \cos(x_ i)\)，其中 \(x_ i = \delta + \frac{1-\delta}{2}(1 + \xi_ i)\)（\(\xi_ i\) 为 \([ -1,1 ]\) 上节点）。总积分 \(I \approx I_ 1 + I_ 2\). 6. 误差与优势变量替换后，各子区间被积函数更平滑，高斯-勒让德公式可用较少节点达到高精度。对比直接积分：当 \(\varepsilon=0.01\) 时，直接法需约 \(100\) 节点捕捉边界层，而分段法每段用 \(10\) 节点即可，效率提升。误差主要来自高斯公式的截断误差，而非边界层遗漏。总结：通过分段积分和边界层区域的变量替换，将剧烈变化函数转化为平滑函数，充分发挥高斯-勒让德公式的高精度特性，显著减少计算成本。