非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-混合整数规划-梯度投影-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题 题目描述 考虑如下非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 约束条件： \( g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) \( x_ 1, x_ 2 \geq 0 \) 该问题包含非线性目标函数和约束，需结合多种高级算法求解。 解题过程 问题分析 目标函数 \( f(x) \) 为凸二次函数，约束 \( g_ 1(x) \) 为非线性凸约束，\( g_ 2(x) \) 为线性约束。 需处理可行域边界（如 \( g_ 1(x) = 0 \) 的抛物线）与最优解的交互。 算法框架选择 采用 序列二次规划（SQP） 作为主干，在每步迭代中构建二次规划子问题。 引入 积极集法 识别活跃约束，减少计算量。 使用 乘子法 处理约束违反，避免罚函数数值病态。 结合 过滤器 权衡目标下降与约束违反，避免Maratos效应。 通过 信赖域 控制步长，保证子问题可解性。 其他组件（如代理模型、动态隧道等）在本问题中暂不激活，因问题规模较小。 迭代步骤详解 初始点 ：取 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \)，计算初始目标值 \( f(x^{(0)}) = 2.5 \)，约束违反度 \( \theta^{(0)} = \max(g_ 1(x), g_ 2(x), 0) = 0.25 \)。 第1次迭代 ： 构建二次规划子问题： 近似Hessian \( B^{(0)} = I \)（单位矩阵），梯度 \( \nabla f(x^{(0)}) = (-3, -1) \)。 线性化约束： \( \nabla g_ 1(x^{(0)}) = (1, -1) \Rightarrow g_ 1(x) \approx 0.25 + (1, -1)^T d \) \( \nabla g_ 2(x^{(0)}) = (1, 1) \Rightarrow g_ 2(x) \approx -1 + (1, 1)^T d \) 子问题：最小化 \( \frac{1}{2} d^T I d + (-3, -1)^T d \)，满足线性化约束 \( \leq 0 \)。 求解得搜索方向 \( d^{(0)} = (0.8, 0.2) \)。 信赖域检验：步长 \( \alpha = 1 \) 满足 \( f \) 下降且约束违反未增长，接受 \( x^{(1)} = (1.3, 0.7) \)。 第2次迭代 ： 更新Hessian为BFGS公式：\( B^{(1)} = B^{(0)} + \frac{yy^T}{y^T s} - \frac{(B^{(0)} s)(B^{(0)} s)^T}{s^T B^{(0)} s} \)，其中 \( s = x^{(1)} - x^{(0)} \), \( y = \nabla L(x^{(1)}) - \nabla L(x^{(0)}) \)（\( L \) 为拉格朗日函数）。 过滤器判断：\( f(x^{(1)}) = 0.58 < f(x^{(0)}) \)，且 \( \theta^{(1)} = 0.09 < \theta^{(0)} \)，接受该点。 重复直至收敛（如 \( \|d\| < 10^{-6} \)）。 收敛结果 最终解 \( x^* \approx (1.0, 1.0) \)，对应 \( f(x^ ) = 1.0 \)，约束满足 \( g_ 1(x^ ) = 0 \), \( g_ 2(x^* ) = 0 \)。 乘子法验证：拉格朗日乘子 \( \lambda_ 1 \approx 0.5, \lambda_ 2 \approx 0.5 \)，符合KKT条件。 关键技巧 积极集法动态调整约束，减少子问题规模。 过滤器避免目标函数与约束违反的振荡。 BFGS更新保持Hessian正定性，确保子问题凸性。