分块矩阵的Tikhonov正则化在病态线性方程组求解中的应用

题目描述
考虑求解病态线性方程组 Ax = b，其中 A 是大型稀疏或稠密矩阵，但条件数很大（即病态）。直接求解（如LU分解）会因舍入误差放大导致解不可靠。Tikhonov正则化通过引入正则化项将不适定问题转化为适定问题，得到数值稳定的近似解。对于分块矩阵，问题可表述为：求解 min ‖Ax - b‖²₂ + λ²‖Lx‖²₂，其中 L 是正则化矩阵（通常为单位矩阵或微分算子），λ 是正则化参数。当 A 为分块矩阵时（如来自偏微分方程离散化），需设计高效算法利用分块结构降低计算成本。

解题过程

1. 问题转化：

   • 原始问题 min ‖Ax - b‖²₂ + λ²‖Lx‖²₂ 等价于求解正规方程 (AᵀA + λ²LᵀL)x = Aᵀb。
   • 若 L 为单位矩阵，简化为 (AᵀA + λ²I)x = Aᵀb。分块矩阵 A 可写为 A = [A₁; A₂; ...; Aₖ]（纵向分块），则 AᵀA = ΣAᵢᵀAᵢ，Aᵀb = ΣAᵢᵀbᵢ。

2. 分块矩阵的正规方程组装：

   • 并行计算各子块 AᵢᵀAᵢ 和 Aᵢᵀbᵢ，再求和得到全局的 AᵀA 和 Aᵀb。避免直接存储大型稠密矩阵 AᵀA，仅保留分块乘积的累加和。
   • 添加正则化项 λ²I 到对角线上，得到系数矩阵 M = AᵀA + λ²I。

3. 迭代求解正规方程：

   • 由于 M 对称正定，使用共轭梯度法（CG）求解。CG 仅需矩阵-向量乘法 Mv = (AᵀA + λ²I)v，可分解为 Aᵀ(Av) + λ²v。
   • 计算 Av 时，按分块并行计算 Aᵢv，再合并结果；同理 Aᵀ(Av) 也分块计算。避免显式形成 AᵀA，节省存储并保持数值稳定性。

4. 正则化参数 λ 的选择：

   • 使用 L-曲线法或广义交叉验证（GCV）自适应选择 λ。分块结构允许并行计算不同 λ 对应的残差范数 ‖Ax - b‖₂ 和解范数 ‖Lx‖₂，加速 L-曲线绘制。

5. 预处理技术：

   • 为加速 CG 收敛，设计分块预处理子 P ≈ M⁻¹。例如，基于分块对角近似或不完全 Cholesky 分解，利用子块稀疏性构建高效预处理器。

关键点：通过分块计算避免显式形成稠密的 AᵀA，结合迭代法和并行处理，高效求解大规模病态问题。正则化参数通过分块并行搜索优化，平衡拟合误差和解的平滑性。