分块矩阵的Sherman-Morrison-Woodbury公式在多重低秩更新求逆中的应用 题目描述 假设我们有一个已知逆矩阵的大型分块矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \)，其逆矩阵 \( A^{-1} \) 已预先计算。现在需要对 \( A \) 进行多次低秩修正（例如 \( k \) 次修正），每次修正形式为 \( U_ i V_ i^T \)，其中 \( U_ i, V_ i \in \mathbb{R}^{n \times r_ i} \) 是低秩矩阵（\( r_ i \ll n \)）。目标是在避免直接对修正后的矩阵 \( A + \sum_ {i=1}^k U_ i V_ i^T \) 求逆的情况下，高效计算其逆矩阵或求解相关线性方程组。 解题过程 Sherman-Morrison-Woodbury (SMW) 公式基础 SMW 公式是矩阵求逆引理的推广，适用于单次低秩修正： \[ (A + U V^T)^{-1} = A^{-1} - A^{-1} U (I + V^T A^{-1} U)^{-1} V^T A^{-1}, \] 其中 \( U, V \in \mathbb{R}^{n \times r} \)，且 \( I + V^T A^{-1} U \) 可逆。该公式将 \( n \times n \) 矩阵的求逆转化为 \( r \times r \) 矩阵的求逆，显著降低计算量。 多重低秩更新的挑战 直接对 \( k \) 次修正 \( \sum_ {i=1}^k U_ i V_ i^T \) 应用 SMW 公式需递归处理，但每次修正会改变矩阵结构，导致后续修正的 \( U_ i, V_ i \) 需重新与更新后的矩阵交互，计算复杂度可能增至 \( O(k^2 n^2) \)。需寻找一种整体处理方式。 整体化多重修正策略 将 \( k \) 次修正合并为单次修正： 定义块矩阵 \( U = [ U_ 1, U_ 2, \dots, U_ k] \in \mathbb{R}^{n \times R} \)，\( V = [ V_ 1, V_ 2, \dots, V_ k] \in \mathbb{R}^{n \times R} \)，其中 \( R = \sum_ {i=1}^k r_ i \)。 修正后的矩阵可写为 \( A + U V^T \)。 此时可直接应用 SMW 公式： \[ (A + U V^T)^{-1} = A^{-1} - A^{-1} U (I + V^T A^{-1} U)^{-1} V^T A^{-1}. \] 关键步骤转为计算 \( M = I + V^T A^{-1} U \in \mathbb{R}^{R \times R} \) 的逆。 高效计算 \( M^{-1} \) 计算 \( W = A^{-1} U \)（利用已知 \( A^{-1} \) 左乘 \( U \)），复杂度 \( O(n R^2) \)。 计算 \( V^T W \in \mathbb{R}^{R \times R} \)，复杂度 \( O(n R^2) \)。 求 \( M = I + V^T W \) 的逆，复杂度 \( O(R^3) \)。 由于 \( R \ll n \)，总复杂度 \( O(n R^2 + R^3) \) 远低于直接求逆的 \( O(n^3) \)。 算法步骤总结 输入 ：\( A^{-1} \), 修正对 \( \{ (U_ i, V_ i) \}_ {i=1}^k \)。 步骤 1 ：构造 \( U = [ U_ 1, \dots, U_ k] \), \( V = [ V_ 1, \dots, V_ k ] \)。 步骤 2 ：计算 \( W = A^{-1} U \)。 步骤 3 ：计算 \( M = I + V^T W \)。 步骤 4 ：求 \( M^{-1} \)。 步骤 5 ：计算逆矩阵： \[ (A + U V^T)^{-1} = A^{-1} - W M^{-1} V^T A^{-1}. \] 输出 ：修正后矩阵的逆。 应用场景与注意事项 适用于动态更新系统（如机器学习中的在线学习、协方差矩阵修正）。 若 \( M \) 条件数大，需数值稳定技巧（如Cholesky分解或SVD）。 当 \( R \) 较大时，需权衡整体化与分步修正的效率。